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Drückt man nun aus, dass die Summe der Momente aller Kräfte gleich Null ist, zuerst in Bezug auf den Ursprung der Coordinaten, dann in Bezug auf irgend zwei andere Puncte, dié nicht in derselben Geraden mit dem Ur- sprunge liegen, und bezeichnet durch(a, 5),(d, b) die Coordinaten dieser letz- teren beiden Puncte, so erhält man die drei Gleichungen: X(X)— Va).= 2AG+„= V(+ a)]l= 0 XIX G+)— F(+ a)l= 0 Reducirt man mittelst der ersteren dieser Gleichungen die beiden an- deren, so bekommt man: 10 TT, W Faß eeof X(Xy=vr)= 0(i) X(Xb— Va)= 0] oder 7bö AX— a J= 0(2) (XÖ— vA)— 0 5 SX— aNV= 0 63) Wenn man aus den Gleichungen(2) und(3) successive X und NY eliminirt, so erhält man die zwei gleichgeltenden:

2.„1 9 (2— ⸗ XV=Z= 0,(— 5) IX= 0, 1 2 die nicht bestehen 12 Sdre wenn nicht einzeln

A— 0, uml=V= 0(4) ist; denn wenn der Factor( 5—5) gleich Null wäre, so würde daraus fol-

gen, dass die zwei Punkte(à, 5),(4, 5) in derselben Geraden mit dem An- ſangspunkte der Coordinaten liegen, was gegen die Voraussetzung ist. Da nun die zwei letzten Gleichungen(4) in Verbindung mit(1) die bekanuten Bedin- gungen für das Gleichgewicht eines Systemes von. Kräften in derselben Ebene ausdrücken, so ist der obige Satz bewiesen.

Betrachten wir zweitens den allgemeineren Fall, wo die Kräfte be-

liebige Richtungen im Raume haben, so gilt der folgende Satz:— Wenn heliebige Kräfte in beliebigen Richtungen ein Sy- stem von Puncten, die mit einander fest verbunden sind, an- greifen, so stehen die Kräfte im Gleichgewichte, wenn die Summe der Momente der Projectionen dieser Kräfte auf