fachste die in gerader Linie. Es ist unmöglich von einer solcheii eine Erklärung zu geben, wo- durch ihr Begriff auf einfachere Vorstellungen zurückgeführt wurdes««)«

Es wird von einigen Seiten der Vorschlag gemacht, die bei dieser·Gelegenheit besprochenen geometrischen Formen graphisch darzustellen. Jch habe oben das Zeichnen der Geraden und des Kreises erwähnt. Jede andere Konstruktion z. B. die des Quadrats, oder des Rechtecks erfordert einen Beweis, der doch an dieser Stelle nicht geführt werden kann. Muß der Schüler aber Konstruktionen ohne Beweis auf Treu und Glauben hinnehmen, so wird er später niemals die Notwendigkeit des strengen Beweises einsehen.»

Das Zeichnen von Netzen und Kleben von Modellen wird auch von manchen Autoren empfohleii, doch verbietet sich das von selbst, da das Zeichnen des Netzes geometrische Kon- struktionen voraussetzt und wie auch Heinze-) sehr richtig sagt, die dazu aufgewendete Zeit in keinem richtigen Verhältnis zu den dadurch erworbenen Kenntnissen steht.

2) Definitionen.

Keine Definition kann wirksam werden, wenn nicht die Anschauung sie unterstützt. Wir benutzen zum Zweck des Anschaulichmachens sowohl die Modelle, als auch die Zeichnuiig. Zur Anfertigung von Zeichnungeii benutzen wir das Lineal auch als Doppellineal zu gebrauchen) den Centimetermaßstab, das Winkeldreieck, den Zirkel un den Transporteur. Konstruktionen, die einen Beweis erfordern, werden aiisgeschlossen.3) Qiiadrat und Rechteck sind am Modell Zu erläutern, die Seiten zu messen und zu vergleichen, ebenso die Winkel mittelst des Winkel-

reiecks. Kreise zeichnen wir mit dem Zirkel, ebenso sind Dreiecke, zunächst ohne Maßangabe

zu zeichnen. Das Winkeldreieck benutzen wir, Um Lote zu fällen oder Senkrechte zu errichten Der Schüler wird angehalten, jedesmal seine Beobachtung an der gezeichneten oder vorgelegten Figur anzugeben-

Der Lehrer nennt nun den Namen des betreffenden Gebildes. Der Schüler wird hierauf die beobachteten Eigenschaften nochmals zusammenfassen und den Namen zufügen. Da ich das Zeichnen eines Dreiecks aus den drei Seiten nicht für eine beweisbedürftige Konstruktion halte, so können gleichseitige 2c. Dreiecke gezeichnet werden. Wir bereiten in ähnlicher Weise die Definitionen der Entfernung eines Punktes von einem anderen, oder von einer Geraden vor. Das Doppellineal liefert uns Parallele, und schließlich gelangeii wir durch 2 sich schneidende Geraden zur Vorbereitung der Winkeldefinition. Wir bedienen uns zum Anschaulichmachen der Richtungsänderung zweckmäßig der Uhr.

Z) Grundsätze."

Die ganze Kette von Beweisen im System hängt schließlich an Sätzen, die nicht mehr bewiesen werden können. Diese beruhen auf der unmittelbaren Anschauung. Doch wollen wir- auch sie nicht im Verlaufe des Anschauungsunterrichts aufgestellt, sondern nur vorbereitet wissen, so daß der wisseiischaftliche Unterricht mit Sicherheit einsetzen kann. Die Anzahl der so vorzu- bereiteuden Sätze richtet sich nach dem, dem wissenschaftlichen Unterricht zu Grunde liegenden Werke.»Eiii verbreitetes Strebeii der modernen Mathematik ist dahin gerichtet, die Axiome zu eliminieren, und sie vollständig durch Definitionen zu ersetzen-»t) Die Zahl der Grundsätze ist also in den Lehrbiichern eine verschiedene. Sätze wie: Gleiches zu Gleichem addiert u.s.w. sind durch Bildung von Summeii und Differenzen von Strecken, Winkeln u. s. w. einfach genug vorzubereiten. Das Parallelenaxiom legen wir dem Schüler nahe durch Benutzung des gewöhnlicheii Lineals als eines Doppellineals, wobei freilich vorauszusetzen ist, daß das Lineal gut und genau gearbeitet ist· Nehmen wir z. B. auf einer von zwei, mit Benutzung des Lineals als Doppellineal erhaltenen, Geraden eine beliebige Anzahl Punkte an, construieren vermittelst des Winkeldreiecks deren Entfernungen von der anderen Geradeii Und messen dann

I Vorschule der Geometrie.

I Fragt-. 10, Königsberg 1888. I bendaselbs.

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