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Aus den beiden erſten Gleichungen erhalten wir: dy— sin. dr+ r. cos P do dx— cos. dr— r. sin dH, und daraus, wenn wir die aus Gleichung(1) für r, dr, sin ꝓ, cos †, dp ſich ergebenden Werthe einſetzen und die dem Zähler und Nenner gemeinſchaftlichen Factoren 2aadt weglaſſen: dy m. sin2u /t. cos 2 mæ t+n. cos2 nmt. sin 2m/t dx-= m. cos 2nmæt. cos 2mæ t— n. sin 2n ⸗t. sin 2mæ t m. tg 2nat † n tg 2mgt In 2(8) — m— n.. tg 2n æt. tg 2 mx t Eine einfachere, jedoch nicht zweckmäßigere Form würden wir dieſer Gleichung noch geben können, wenn wir in derſelben für

I tg 2m at etwa tgo ſetzten. Es würde dann: m

5 tg(2nzt+† 4)...(3) X

Den zweiten Differentialquotienten müſſen wir Leidiiaih aus der Gleichung dzy— dXx. dzy— dy. d²x

dxx— dx³

beſtimmen. Subſtituiren wir hierin für dx, dy, d=x und dzy die vorhin gefundenen Werthe, ſo erhalten wir nach gehöriger Umformung und Reduction:

d2y 2 dG. dr:— r. dH. der+† 12. d3.

dx—(cos G. dr— r. sin p dcp) 3³ Sobald wir jetzt die aus Gleichungen(1) für die Gröͤßen auf der rechten Seite der Gleichung leicht zu findenden Werthe erſetzen und vereinfachen, finden wir: d n[2m ². cos22 m æ t+(m2+ n²). sin 2 2 mt] dx2 a.(m. cos 2n a t. cos 2maæt— n. sin 2n rt. sin 2m*Q t) 3

. 5(4)

2. Wir ſind jetzt im Stande, mit Hülfe der gewonnenen Reſultate den Tangentenwinkel, die Tangente, Normale, Sub⸗ tangente und Subnormale zu beſtimmen. Behalten wir die übliche Bezeichnungsweiſe der genannten Größen bei und ſetzen