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wo Im( und ga(9 eindeutige Funktionen von sind, die für jede bekannte Massen- verteilung genau angegeben werden können.

Eine Ergänzung zu diesem Satze bildet der folgende, welcher, da die Massenvertei- lung hier eine unbekannte ist, zwar nicht auf dieselbe Weise bewiesen werden kann, dessen Richtigkeit aber daraus sich ergiebt, dass der Ausdruck für» der Differentialgleichung 1= 0 und den übrigen charakteristischen Eigenschaften des Potentials genügt:

IV. Wenn in der Ebene der komplexen Zahlen eine Linie ein durch die X-Achse symmetrisch geteiltes und einfach zusammenhängendes endliches Flächenstück begrenzt, und wenn Fm(d) eine in diesem Flächenstücke eindeutige, stetige und endliche Funktion ist, so stellt(für ein konstantes α) der Ausdruck

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— ide Fa(O(E— r 4.*)“ 1

r 1— m V=* cos m(&——) y

8 2 in dem entsprechenden von einer Rotationsfläche begrenzten körperlichen Raume das Potential gewisser Massen vor, die ganz ausserhalb dieses Raumes liegen, und kann ins- besondere aufgefasst werden als das Potential einer völlig bestimmten auf der Oberfläche ausgebreiteten Massenschicht in Bezug auf einen im Innern des Raumes gelegenen Punkt.— Wenn dagegen Fa(9 in dem unendlichen Teile der Ebene, der das betrachtete Flächen- stück umgiebt, eindeutig und stetig ist und überdies das Produkt m ti Fm() für ᷑= endlich bleibt, so kann Vm aufgefasst werden als das Potential einer auf der Rotations- fläche ausgebreiteten Massenschicht in Bezug auf einen Punkt x, y, des äusseren Raumes. Die Dichtigkeit der Schicht ist in beiden Fällen von der Form

m(s) cos m(— a),

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d. h. sie ändert sich für Punkte auf einem und demselben Parallelkreise proportional mit cos m(&—). Für Punkte auf der Rotationsachse(die dem Raume, auf welchen Va sich bezieht, angehören) findet, wie aus I hervorgeht, die Relation statt:

0 Vm 1 71 62=—— cosm(q— a) Fm), 6 y(y= 0) II(m— ½) welche in dem speciellen Falle m= 0 in Fo(X)= Vo für y= 0 übergeht und dann

einer für alle Punkte desselben Parallelkreises konstanten Dichtigkeit entspricht. V. Bei einer ringförmigen Rotationsfläche finden die beiden vorhergehenden Sätze fast unverändert Anwendung in dem äusseren Raume; die Funktionen f, g, F sind dann aber nicht ein- sondern zweiwertige.(Im innern Raume könnte die aus 1) und 3) im§ 1 entstehende Formel zur Darstellung des Potentials verwendet werden.) Bei der bisher betrachteten Darstellungsform des Potentials mittels komplexer Funktionen

zeigte sich, dass diese Funktionen für reelle Werte der Variablen die Werte des Potentials