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Punkte ze und zs eine geschlossene Linie legen, die ein einfach zusammenhängendes end- liches Flächenstück begrenzt; die Funktionen f und g sind dann in diesem Flächenstücke eindeutig und für positive Ms von positivem Werte, und sie stellen auch in dem übrigen (unendlichen) Teile der Ebene eindeutige, aber analytisch von den ersten verschiedene Funktionen vor, und ihr Wert ist positiv auf dem einen, negativ auf dem andern der beiden unendlich langen Teile der Achse.
Hiernach ist nun auch ohne weiteres zu ersehen, wie sich die Sache in dem Falle einer stetig auf einer Rotationsfläche verteilten Massenschicht gestaltet. Man hat hier nur Ms zu ersetzen durch das Massenelement
kK. ys ds dg. worin k die Dichtigkeit der Schicht im Punkte(Xs, ys, Gs) der Fläche, ds das Bogen- element der Meridianlinie bezeichnet, und statt der Summation nach s eine Integration nach&s von 0 bis 2 1⁄, nach s von 0 bis l auszuführen, wenn l die Länge der Meridian- linie bezeichnet. Dabei sind xs und ys gegebene Funktionen des Bogens s. Man gelangt so zu dem Satze:
II. Das Potential einer auf einer nicht geschlossenen oder einfach zusammenhängen- den geschlossenen Rotationsfläche ausgebreiteten Massenschicht lässt sich in der unter 1 angegebenen Form darstellen. Entwickelt man die Dichtigkeit k in die trigonometrische Reihe
k= k(s)+ 2 k(8) cos q;+ 2 ka(s) cos 2 Gs. †+†˖... + 2 h(s) sin& † 2 h(s) sin 2 G. †☚˖.... so gelten für die komplexen Funktionen fa() und ga(9 die Ausdrücke ¹ 1e(C)= 2 ſkn(3) 1((C— x).„.²) las
0
21 m+ 17 2 1—m— ¼ 9n()= 22 L()J.(E X)“ 4.„*) ds. 0 Die Bedingungen über die Vorzeichen sind bereits in I erörtert worden.— Ebenso
gilt der folgende Satz:
III. Innerhalb(resp. ausserhalb) eines von einer Rotationsfläche begrenzten einfach zusammenhängenden Raumes lässt sich, wenn die Rotationsachse zur X-Achse gewählt, wird, das Potential beliebiger ganz ausserhalb(resp. ganz innerhalb) dieses Raumes be- findlicher Massen stets in der Form darstellen
2
2— 3.— ¹ 2 2— ½ · „= NX(cos mo in(O sin mg g7(C))(C— M*.]“—4 dg,
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