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in welcher der Koefficient des allgemeinen Gliedes mittels der von Gauss(Werke, III. 128 u. 129) angegebenen Formeln statt durch ein bestimmtes Integral auch durch hyper- geometrische Reihen ausgedrückt werden könnte. Nach Einsetzung dieses Wertes erhält man T durch die folgende Doppelsumme dargestellt:

(23) T= ſcos i9+ cos e cosid?.+ cose. X4cosm( ‧— 9.) cosn(—*) A(9) B5(99),

worin man die m= 0 oder n= 0 entsprechenden Glieder auf die Hälfte, das m= 0 und n= 0 entsprechende auf den vierten Teil zu reduzieren hat, und worin die von dϑ und ⁹ςᷣ abhängenden Transcendenten die Bedeutung haben:

9

. 4— 2 8 ſi (24) A(9)=(— isin i9)= m. 2 J cos(ine) da

„(2 cos i9— 2 cos la)t—n

71

(25) BA(9.)=(— isin i9.)n. 1. cos(ug) ds (2 cos i9— 2 cosS) 1

0

Die Vergleichung mit der von Heine(Handb. II,§ 74) gegebenen Ableitung des von C. Neumann gefundenen Resultates zeigt, dass diese Transcendenten, abgesehen von gewissen konstanten Faktoren, mit den Kugelfunktionen

Pn(cos i9) und Gnt(cos i 9⁹

übereinstimmen, deren oberer Index die Hälfte einer ungeraden Zahl ist.

§ 9. Einige allgemeine Sätze.

Es mögen jetzt beliebig viele Punkte P.(Xs, ys, Gs) betrachtet werden, in denen man sich die Massen M. koncentriert denkt. Das Gesamtpotential derselben in Bezug auf einen Punkt P(x, y, G) des Raumes ist:

„= M. r. Jedem Punkte P. entsprechen in der Zablenebene die konjugierten Punkte 28= xXs † iy- und z2= Xs— jiy«s, und zwar geben alle Punkte eines und desselben

Parallelkreises(d. h. eines Kreises, auf dem x, und y« unveränderlich sind, und nur 9. sich ändert,) dieselben komplexen Zahlen z, und z's. Bei Zugrundelegung der am Anfange von§ 8 angeführten Entwicklung von T ergiebt sich unmittelbar der folgende Satz: