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Zwischen den Funktionen l und k findet die Beziehung statt (16) 14(cos 9)=(— 1)“ ka[cos(w— 9)1=(— 1¹)“ Ka(— cos), wie sich ergiebt, wenn man in dem Integrale, dessen Grenzen 2 ¶—%ϑ und* sind, a durch πᷣ X a ersetzt. Wie im vorigen Paragraphen die Gleichung(9) zur Ableitung des Additionstheorems für die Kugelfunktion Pa benutzt werden konnte, so führt hier Gleichung(13) unmittelbar zu dem Additionstheorem für die Kegelfunktion:

„I(ui— ☛ m) I(ui—— m)

(17) W(cos)= 2 X 1u(cos 9) ki(cos 9.) cosm( ‧— 9.).

(cos= cos d cos.+ sin sin 9⁵ cos(†— Gs); 0==— 2)

Ich erinnere daran, dass der Quotient der beiden Funktionen den im§ 2 ange- gebenen reellen Wert hat, und dass, der gegebenen Ableitung gemäss, in(13) die Potenzen von r und ra definiert sind durch

1—27 1—) 1ogr 1 141 r1=!= clal) logr und 1.+ 1= elai+. ³) log rs.

während logr und log re reelle Werte bedeuten. Ferner führe ich noch die Beziehungen an II(m) kKun(cos 9)= tg 14 F(1— ui, 1 † ui, m+. 1, sin ½ 9*)

9 (18) khn(cos 9)= sin 9 ¹ 9(m) k4(cos 9)(d cos 9)“ 2 0

1— 1.. m 1. 6

7I(ui= 1+ m) Ka(cos 4)= sin9“. d. ke(c0s 9) II(ui— ¼— m)(d cos 9)“

und muss hinzufügen, dass nach der Bezeichnung in Heine’s Handbuch die linke Seite

der ersten Gleichung nur ke(cos), nach C. Neumann's Bezeichnung der adjungierten

Kegelfunktionen die dritte Gleichung einfacher KX=(1—)* K G)

lauten würde, während bei der von mir getroffenen Wahl der Konstanten gerade die zweite Relation in möglichst einfacher Gestalt erscheint. Der Umstand, dass bei dem Gange meiner Untersuchung die adjungierten Funktionen als bestimmte Integrale auftreten, die unmittelbar zur zweiten Relation, aber nur auf Umwegen zur dritten führen, möge die Abweichung in der Bezeichnung entschuldigen. Eingeführt sind die adjungierten Funktio- nen(für ein Argument, das grösser als 1) wohl zuerst in meiner Arbeit vom Jahre 1870 (§ 5); sie treten dort in verschiedenen Integralformen auf, die mir zu einer bestimmten Auswahl der konstanten Faktoren keine Veranlassung gaben.

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