— 16—

642) Pr(cos)= po(cos)= 2. IIa † m) pn(cos 9) pn(os99) cos m(&— †*). II(n— m) Die Summe bricht von selbst nach dem m= n entsprechenden Gliede ab, das m= o entsprechende Glied ist auf die Hälfte zu reduzieren. Mit der Form, in der das berühmte

Theorem von Laplace und Legendre in Heine's Handbuch(I, 312) auftritt, wird die vorstehende übereinstimmend, wenn man setzt

ph(cos 4)=(T) 1.3..(n— 1) pr(cos 3). m I T+† m)

„.„ n n. Ebendasselbe würde sich aus den Ausdrücken von pu und L durch hypergeometrische Reihen ergeben.

§ 6. Kegel.

Wenn die Punkte P und Pa zwei verschiedenen Kegelmänteln von den Parametern 9 und d, angehören, so hat man, wenn 9A grösser als d vorausgesetzt wird, nach as von — 92 bis zu integrieren, nach æ aber von 2 7⁄— ϑ über bis; dadurch erreicht man es, dass die Differenz&—&. innerhalb der Integrationsgrenzen auch dann nicht 0 wird, wenn die Punkte derselben Kugelfläche angehören, also r= rs ist. Ausserdem hat man an Stelle von II die Formel III a in Anwendung zu bringen, die von jener sich wesentlich nur dadurch unterscheidet, dass an Stelle des Summenzeichens ein Integralzeichen, an Stelle der Zanl n die Zahl ui— ¾ tritt. Man kann daher offenbar die der Gleichung(9) des vorigen Paragraphen entsprechende Entwicklung ohne Rechnung durch die angedeu-

teten Veränderungen aus(9) bilden, und erhält: 3 0

.ui— ½ lK(cos 9) kH(cos de) d (13) T en=e, ſ FILi) r. n os 3) km— 2.

& II(ui—— m) 1⁰1 †. cos unri .— m 9— 1⁷ 44& (14) la(cos) sin) 1 22—— 1n e. rl 3:. Em. 1) a. 16 cosg— 2 0s 3)1— 7—. — m 3 9G. (15) k(cos d.)= in 9o9 2 ſ cos(uic) da— m.(2m— 1)(2 cs a— 2089.):