Hiernach wird also:

n (o)== 2X cosm m(&— G.)* II(n+ m)— pn(cos 9) pan(cos.), n=m II(n— m) r.

wenn die Funktion p bestimmt ist durch die Gleichung

1— 1* 3—* 3 2 3 II(m— ½) pa(cos 9)= sin 4 4(2 cosa— 2 cos 9) ¹ eln„) ie qe, oder, was dasselbe ist, durch eine der Gleichungen

(10) pan(cos)=— 2 cos(n+) a da

.(2 m— 1) m 1(2cos a— 2 cos 9) pa(cos 9)= m) tg 19, F— n, n+ 1, m 1, sin ½9²)

Bei der Integration nach&(oder) hätte man als Integrationsweg auch den Kreis- bogen wählen können, der die negative Richtung der reellen Achse schneidet, d. h. man hätte nach a von 2 71— dϑ über bis ϑ integrieren können. Dadurch würde man p in der Form erhalten haben:

1 (11) pna(cos 5)=(—— sin 9)-n 2 2 sin(n+) ada 1.3.(2m— 1)(2 cos 5,— 2 cos a)

n+ m 2 0ot 49(— n, n+ 1, m+ 1, cos ½ 9*). II(m

Wenn man in(9)= 0 und für einen beliebigen Winkel setzt, so erhält man die Gleichung

n— 0 — 1 n— n— 1 n— (rs— 2r r. cos+ r.*) 4—* Ts 1 po(08), n= 0

aus der man ersieht, dass die Funktion pa(cos) identisch ist mit der Kugelfunktion

Pu(cos). Die linke Seite dieser Gleichung geht in T über, wenn man coso durch C08)= cos9 cosd.+ sin d sin d⁵ᷣ cos(†— G*)

ersetzt, und durch Vergleichung der so für T entstehenden einfachen Summe mit der

durch 6) gegebenen Doppelsumme ergiebt sich das Additionstheorem für die Kugelfunk-

tionen erster Art in folgender Form: