endlichen Wert. Der Punkt&= œe ist kein UInstetigkeitspunkt, da die Funktion im Unendlichen sich wie§ ‧+ ² verhält. Denkt man sich die Integration statt auf dem betrach- teten auf irgend einem anderen die Punkte z' und z verbindenden Kreisbogen ausgeführt (— nur nicht auf demjenigen, der auch durch zs und zs hindurchgeht—), so nimmt das Integral ebendenselben Wert an. Denn die beiden Integrationswege begrenzen zwei Flächenstücke, von denen eines(entweder das endliche oder das unendliche) die Punkte zs und zs' nicht enthält, und innerhalb dieses Flächenstückes ist die zu integrierende Funktion eindeutig, stetig und endlich. Offenbar wird man nun, ohne dass eine Wertänderung des Integrals eintritt, die Integration erstrecken dürfen über jede Linie, die von z' über nur einen Punkt o der reellen Achse bis z führt, durch so in zwei symmetri- sche Teile geteilt wird und nicht durch ze und zs hindurchgeht. sofern man die zu integrierende Funktion von dem in stattfindenden reellen und

positiven Werte 1

LE— v y 1(&— X 5)2² 4+ v. ausgehend sich stetig ändern läss Selbst wenn bei der Integration de Punkt& † in die Punkte z und zs. der Punkt E— in wegen der Symmetrie des Integrationsweges ebenso oft die Punkte z und z.

umkreiste, würde eine Wertänderung des Integrales nicht eintreten, wie sich mit Rücksicht darauf ergiebt, dass das Integral über eine einzige geschlossene, alle vier Punkte z, 2s, 20, 2s umgebende Linie den Wert 0 hat. Endlich ist es auch gestattet, als Integrations- weg zwei von z' und z bis ins Unendliche führende, zur rellen Achse symmetrisch liegende und sie nicht schneidende Linien zu wählen, da die Funktion im Unendlichen sich wie.– verhält.

Das Integral JIm lässt sich nun noch unter andern Formen darstellen, von denen namentlich folgende bemerkenswert erscheinen. Zunächst erhält man einen ganz ähnlich wie 2) geformten Ausdruck, wenn man peachtet, dass Ja nach 1) seinen Wert nicht än- dert, wenn man x, y mit x«, ys vertauscht:

XS+i lys — 2m— idè((— Xs)*+ y 1.2] ¹ (3) Im— Ys 1. . Xs— iys 1— 3* 4 y²]

Hierin ist ys als von Null verschieden vorausgesetzt. Die Werte von Ja für y= 0, resp. ys= 0 können jedoch aus 2) und 3) bestimmt werden, wenn man die Integrale zuvor durch eine der Substitutionen

— 8 4, resp. ³= xX⸗ †. iys cos 4s transformiert; unmittelbar ergeben sich dieselben aus 1). Nun Vehe, zie für y= 0 aus 3) 28 — 2m idt.[(ßb= 1. Im— ys 2m. 1 4

2 6(X— 8)