2= x iy und 2= xXx— iy, 2⸗= x⸗+ iy. und z.= X⸗— jiy⸗ sind. Zufolge der aus den drei ersten Substitutionsformen abgeleiteten vierten Form ist der Quotient 6. zer(K.=X. 149. v =)s P y. oler(E—= x. † n)e † J⸗ eine reelle Grösse. Die Bedingung dafür, dass der imaginäre Teil verschwindet, wird offenbar durch die Gleichung ausgedrückt

(E— x)?+ y²—„(&— X.)? † y.—„ †— X 1*— X-

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und in dieser erkennt man, wenn man ẽ und) als laufende Koordinaten betrachtet, leicht die Gleichung eines Kreises, und zwar desjenigen, der durch die vier Punkte(X, 9 y), (X., † y.) der Koordinatebene, also durch die vier Punkte z, z“, zs, zs' der Zahlenebene hindurchgeht. Auf diesem Kreise bewegt sich also der Punkt, wenn sich ändert, und da& kontinuierlich von 2“ pis z sich ändert, wenn die reellen Werte von 0 bis τ durchläuft, die Werte&= 2z' und= 2“ aber nur für cos=[— x.)“+† y²+ y⸗*)]: 2yys und cos)y= 0, also nur für imaginäre Werte von erreicht werden würden, so durchläuft der Punkt bei der Integration denjenigen der beiden durch z“ und z begrenzten Kreisbogen, welcher die Punkte zs und z, nicht enthält. In der Nähe der Stelle, wo der Kreisbogen die X-Achse schneidet, ist, weil es von negativen zu positiven Werten übergeht, im Wachsen begriffen, folglich d) positiv. Zugleich ist dort de= 0 zu setzen, also— id= du. Damit also das Element des Integrales in 2) einen positiven Wert annehme, hat man die Wurzelgrössen R und R., welche an dieser Stelle beide reell sind, hier entweder beide positiv oder beide negativ zu wählen. Im ganzen übrigen Verlauf der Integration ist dann jede einzelne der Grössen R und R, ohne Zweideutigkeit dadurch bestimmt, dass sie mit E sich kontinuirlich ändern muss. Aus bekannten Sätzen ergiebt sich nun, unter welchen Bedingungen das Integral bei Veränderung des Integrationsweges seinen Wert behält. Es ist aber notwendig die Bedingungen so zu formulieren, dass sie eine sichere und bequeme Anwendung der Gleichung 2) gestatten. Diese Gleichung kann in der Form geschriebep werden: —) v.= y 2nſä= ir(t) BC— u)“ u) t w.) et.

Die Funktion unter dem Integralzeichen besitzt die Verzweigungspunkte z, 2’, zs, 2s“, an den Integrationsgrenzen wird sie Null, ausser wenn die ganze Zahl m den Wert Null hat; in letzterem Falle wird sie an den Grenzen unendlich, aber das Integral behält einen