iy(cos ¾₰ 1) wy= X † iy.—(— iy). iy⸗— iy(cos— 1)— iy—? xs † iy.— G+ iy) x. iy.— 5 r k. J.t T)YY cos„ W. Vw. e Ix.+ iy.—(X— jy)] I[x.+ iy.— iy)) v. †. yy.— 8 Die erste giebt= xX+ iy, x— jy, Xxs+ iy- für cos y=— 1, 1,%; die bei-

den andern werden durch diese Werte ebenfalls identisch erfüllt und sind daher mit der ersten überhaupt gleichbedeutend. Wenn man das Produkt der beiden ersten Formen durch die dritte dividiert, so erhält man

. SSsin 92(C

(X— XS)2+ y²+ F⸗2²— 2 yys c08 1—(— XS)²+ Ja* und wenn man die dritte Form und die durch die Division der beiden ersten sich erge bende logarithmisch differentiiert, so ergiebt sich

8— de (X— x.)*+† † y.— 2yy, cos"y(— v* ſ. y][(— x.)“ † y.* Das Integral Im wird also transformiert in: X+ iy * (2) Ja y 2m— ide ſe— 9 n 2 3 X— iy 16—)⸗+ v m+ 2

wobei über dic ihrer Natur nach zweiwertigen Wurzelgrössen R= VE= Vr ys und R.= 1(E=) ve

eine solche Bestimmung zu treffen ist, dass das Integral wie in 1) einen positiven Wert annimmt.

Da& und cos eindeutig durch einander bestimmt sind, so nimmt, während von 0 bis m wächst,& von x— iy bis X+ jiy eine Reihe von komplexen Werten an, die in genau vorgeschriebener Weise aufeinanderfolgen und sämtlich von einander verschieden sind. Wir benutzen nun die übliche geometrische Darstellungsweise komplexer Zahlen, um das gewonnene Resultat zu veranschaulichen, und dann einen Fundamentalsatz der Funktionentheorie, um es von unnõtigen Beschränkungen zu befreien. Die Koordinaten- ebene XY möge zugleich als Ebene der.e Zahlen

8=&+

betrachtet werden. Die beiden Kreise, welche man im Raume durch die beiden gegebenen Punkte(x, y,) und(Xs, ys, †s) symmetrisch um die x-Achse legt, schneiden diese Ebene in je zwei Punkten, welche zugleich Träger der komplexen Zahlen