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grenzten Raume gewissen Bedingungen genügt, ein bestimmtes Flächenpotential entspricht, so war ich damals doch noch nicht im Stande, die Frage zu beantworten, ob auch um- gekehrt für jedes gegebene Flächenpotential eine derartige komplexe Function existiert. Auch bezogen sich meine Untersuchungen nur auf eine zur Rotationsachse symmetrische Massenverteilung, und es blieb die Frage offen, ob die Resultate auf eine nicht symmetri- sche Massenverteilung sich ausdehnen liessen. Diese beiden Fragen will ich in der vor- liegenden Arbeit zu beantworten versuchen und daran einige Anwendungen auf specielle Fälle knüpfen.

Zunächst entwickle ich, indem ich die Verteilung der Massen als gegeben annehme, die reciproke Entfernung eines Massenpunktes von dem Punkte, auf den das Potential bezogen wird, in eine trigonometrische Reihe; die Koéfficienten werden in bekannter Weise bestimmt und haben die Form elliptischer Integrale. Ich transformiere diese dann durch eine imaginäre Substitution, so dass die Grenzen zwei konjugierte komplexe Zahlen wer- den, oder die Integration, wenn man will, über eine die zwei konjugierten Punkte der Zahlénebene umgebende geschlossene Linie ausgedehnt werden darf. Dadurch tritt eine teilweise Trennung der Variablen ein, indem die Funktion unter dem Integralzeichen in zwei Faktoren zerfällt, von denen der eine nur die Koordinaten des einen, der andere nur die des anderen Punktes enthält. Die so gewonnene Formel 2) bildet die Grundlage für alles Folgende, und ich hätte sie unmittelbar bei den meisten Anwendungen benutzen können. Ich gebe derselben jedoch noch zwei andere Formen[4) und 5)], die zwar eine weniger einfache, aber mehr symmetrische Gestalt besitzen. Die Gleichung 5) führt, wenn man die durch x und y bezeichneten Koordinaten durch die Parameter zweier einander rechtwinklig durchschneidenden und zur Hauptachse symmetrischen Kurvenscharen ausdrückt, fast unmittelbar zu einer vollständigen Trennung der Variablen in fast allen den Fällen, wo diese Scharen nur aus Kreisen oder geraden Linien bestehen. Es ist dazu nur erfor- derlich, die neuen Koordinaten in 5) einzuführen und für die in 5) vorkommende Potenz von—&ꝓ eine passende, in jedem einzelnen Falle sich fast unmittelbar darbietende Darstellung in Reihen- oder Integralform einzusetzen. Ich führe diese Entwicklungen in § 2—7 aus für beliebige Punkte zweier Ebenen, Cylinder, Kugeln, Kegel und Kugel- kalotten, sofern diese Flächen die einfachsten Lagen zu einander haben, nämlich die Ebe- nen parallel, die Kugeln koncentrisch sind u. s. w. Auch auf zwei nicht koncentrische Kugeln und zwei durch Rotation von Kreisbogen mit gemeinschaftlicher Sehne entstebende Flächen ist Gl. 5) in derselben Weise anwendbar. Dagegen versagt sie in dem zuerst von Herrn C. Neumann behandelten Falle der Ringfläche, weil dann eine einheitliche (d. h. für alle bei der doppelten Integration in Betracht kommenden Werte in unverän- derter Form gültige) Entwicklung der Potenz von—& nicht angegeben werden kann; ich wende daher in diesem Falle die Gleichung 2) an. Die so sich ergebenden Entwick-