Beiträge zur Potentialtheorie.

Die meiner letzten Arbeit*) zu Grunde gelegten Beziehungen zwischen der Funktion einer komplexen Variablen und dem Potential einer mit Masse belegten Rotationsfläche gaben mir die Mittel an die Hand, den vorhandenen Lösungen des Poisson'’schen Pro- blems der Elektricitätsverteilung auf zwei Kugeln eine neue hinzuzufügen. Wie die so gewonnene Form der Lösung leicht zu den bekannten Reihenentwickelungen des Potentials nach Kugelfunktionen führte, so musste es auch umgekehrt möglich sein, von diesen Reihenentwickelungen ausgehend das Resultat in jene Form zu bringen. Diesen letzteren Weg hat Heine eingeschlagen, die von ihm schon früher gefundene und mir unmittelbar nach Daurchsicht meiner Arbeit brieflich mitgeteilte Lösung aber erst in der zwei- ten Auflage seines Handbuchs der Kugelfunktionen(II, 60) veröffentlicht. Ferner muss ich erwähnen, dass die Theorie des Potentials von symmetrisch um eine Achse verteilten Massen den Gegenstand einer Anzahl von Publikationen Beltrami's bildet, die bis zum Jahre 1877 zurückreichen. Von diesen habe ich nur Kenntnis erlangt durch eine von dem Herrn Verfasser mir gütigst übersandte, im Jahre 1883 erschienene Abhandlung**); darin sind auch mehrere andere Arbeiten angeführt, welche die Theorie der komplexen Grössen für die Potentialtheorie verwerten; namentlich die Abhandlung Kirchhoff's „Zur Theorie des Kondensators“. Obgleich nun das von mir bei einer speciellen Aufgabe angewandte Verfahren namentlich mit Beltrami’'s Methode manche Berührungspunkte hat, so ist doch der von mir gewählte Ausgangspunkt ein gänzlich verschiedener, und auch die Art und Weise der Benutzung der komplexen Grössen eine nicht unwesentlich andere; ich konnte daher von meiner Absicht nicht zurückkommen, auf dem von mir betretenen und inzwischen weiter verfolgten Wege fortzuschreiten. Wenn ich nun früher auch ge- zeigt habe, dass jeder komplexen Funktion, die in einem durch eine Rotationsfläche be-

*) Jahresbericht des Gymnasiums, 1879. Mathematische Annalen, 18. Bd., 1881. **) Sulle funzioni associate e specialmente su quelle della calotta sferica.(Mem. dell' Accademia di Bologna.)