4— in ¹: c08/— 4 b— sin ½ 2 A B) und A b— 608 2 12 A 3)*) C cos ½ C C sin ½ C während aus den beiden anderen Glelchnmgon

608 2(a— 9) sin 2½(A+ B) und Cos e(a 6) cos ½(A+ B)

cos ½„ cos ½˖ C cos ½ y sin ½ C sich nur folgern lässt, dass die Summe der Winkel des entstehenden ebenen Dreiecks gleich zweien rechten Winkeln ist, denn da die Cosinus der im Vergleich zum Radius verschwindenden Seiten des sphärischen Dreiecks gleich 1 sind, so wird in beiden Gleichungen die linke Seite gleich 1 und folgt daraus, dass

sin ½(A+ B)= cos ½ C und ebenso cos ½ A+ B)= sin 2 C ist, also die halbe Summe von zwei Winkeln durch den halben dritten zu einem Rechten ergänzt wird; also A+ B+ C= 180°.

Dieselbe Folgerung ergiebt sich aus den Gleichungen, welche die Relationen zwischen den

drei Winkeln und einer Seite eines sphärischen Dreiecks enthalten, z. B. aus der Gleichung

cos A=— cos B. cos C+ sin B. sin C. cos a ergiebt sich, wenn man cos«= 1 setæt. cos A=— cos B. cos C+ sin B. sin C=— cos(B+ O).

woraus folgt, dass A und B C Supplemente sind.

8. Die Formel für den Flächen-Inhalt des sphärischen Dreiecks

5=(A. B C C= 180 R2 1800 schien anfänglich für die Umwandlung nicht fügsam zu sein, denn es ergiebt sich, da der sphärische Excess Null wird, aus derselben nur, dass die Fläche des ebenen Dreiecks im Vergleich zur Kugel- fläche verschwindet. Drückt man aber den sphärischen Excess durch die Seiten des sphärischen Dreiecks aus und verfährt dann nach der im Vorangehenden erklärten Methode, so erhält man die bekannten Formeln für den Flächeninhalt des ebenen. Dreiecks. Ich folge, um eine geeignete Funktion des sphärischen Excesses zu erhalten, der in Kambly's Trigonometrie pag. 57 angegebenen Anleitung. Es sei A+ B+ C— 180°= E folglich ½ E= ½(A+ B+ C)— 900 und sin ½ E=— cos ½ 4A+ B+ 0)=— cos[z(A+ B)+ ½ C sin ½ E=— cos ½ A+ B) cos ½ C+ sin ½(A+ B) sin ½ C

cos ½ A+ B) und sin ½(A— B) lassen sich mit Hilfe des in Abschnitt No. 7 ange- führten zweiten Paares der Gauss'schen Gleichungen durch die Seiten des sphärischen Dreiecks aus- drücken. Man erhält Cos 1e(A* B)= 108(;) sin C und sin"*(A- B)= ²08. 4(a.— g) cos 5 C.

cos 2) cos 2 y

Führt man diese Werthe in die obige Gleichung ein, so ergiebt sich

cos 2(a S). sin ½ C. cos a C cos ½(a— 6). cos ½ C. sin ½ C

sin ½ E=—

cos ½ y cos ½ p .— Cos 1&œ—— C0s+. sin ½ E= 4 E 9)——2(A sin C 2 C0s 7.) 7 3 sin x½ Sin„ in ½ FE=———.. sin ½ PE cos n sin C

Diese beiden Sätze, deren Richtigkeit leicht zu beweisen ist, bieten eine zweckmässige Auflösung der ebenen Dreiecke dar, in denen eine Seite, der Gegenwinkel derselben und die Summe oder Differenz der beiden anderen Seiten bekannt sind.