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Will man nun den Flächeninhalt des im Vergleich zur Kugelfläche verschwindenden sphärischen Dreiecks durch zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel ausdrücken, so setzt man nach Analogie der früheren Beispiele
. 4. b sin 2 α— E' Sin 1½ β— 2R und cos ½„= 1 und erhält
sin ½ E= sin C.
ab
4 Rz
Da aber in Folge der gemachten Annahme auch der sphärische Excess verschwindend klein wird, so kann man auch statt sin ½ E das Verhältniss des dazu gehörenden Bogens zum Radius setzen, wobei jedoch zu beachten ist, dass dieser Radius nicht der Kugelradius, sondern beliebig ist und gleich 1 gesetzt werden kann, und dass der zu ½ E gehöõrige Bogen, welchen ich mit be- zeichne, in Theilen der Peripherie, der verschwindende halbe Excess dagegen in Winkelgraden ausge- drückt ist. Man hat also, wenn r= 1 ist,
E. 7 „. 21 ½ E: 180°und 7;/— 3605 3,4 ab Hieraus ergiebt sich Ia he n C und .90 0 FE= Brerne sin C.
Setzt man diesen für den verschwindenden sphärischen Excess des eben werdenden Dreiecks geltenden Ausdruck in die Formel
(A B C 180) ge E. Eaa e, so erhält man die bekannte Formel für den Inhalt des ebenen Dreiecks F= ab. sin C
Wenn man in der oben für sin ½ E gefundenen sphärischen Formel sin C durch die Seiten des sphärischen Dreiecks ausdrückt und dann ganz analog dem gezeigten Verfahren verfährt, so findet man den verschwindenden Werth von E durch die drei Seiten ausgedrückt
— 5 9 E= r VA † b+ c)(a+ b— c)(a c— b)(b+ c— a) E. RZ2 3 180° F= K4 VWA= ea b— a r c b) b e—). Will man den Satz, dass der Inhalt des ebenen Dreiecks gleich dem halben Producte aus
Grundlinie und Höhe ist, aus der sphärischen Formel noch ableiten, so braucht man das sphärische Dreieck nur durch einen auf der Seite senkrechten Bogen, welcher d sein mag, in zwei rechtwink-
und erhält nach der Substitution desselben in der Formel F=
;;; sin ³ lige Dreiecke zerlegen, um sin C= 5
n 8
zu bestimmen. Die Gleichung für den Sinus des halben sphärischen Excesses wird dann 1 sin ½. sin ½„. sin d sin ½.= 5 c0s ½ y. sin 6 sin ½ α. sin d 2 cos y. cos ½
oder
sin ½ E=