8.

.Um aus zwei gegebenen Seiten eines sphärischen Dreiecks und dem von denselben einge- 3ossenen Winkel einen der beiden anderen Winkel zu bestimmen, kann man sich der bekannten Gleichungen, welche die Relationen der betreffenden Stücke enthalten, bedienen, wie z. B. der Gleichungen

cotg a. sin G= cos. cos C+ sin C. cotg A

cotg g. sin= cos. cos C+ sin C. cotg B, wenn α, und C gegeben und A und B zu bestimmen sind. Auch die hieraus sich ergebenden Formeln

cotg. sin β— cos§. cos C cotg 4.—— 6—, L. do und sin C . cotg g. sin æ— cos α. cos C cotg B=——, sin C

lassen sich leicht in die Formeln umwandeln, welche zu der Auflösung der entsprechenden Aufgabe in der ebenen Trigonometrie angewendet werden. Man führt zunächst statt der Cotangenten die Tangenten ein und erhält dadurch

tang a. sin C tang 6. sin C

tang A=— z und tang B== 5 sin 6— cos 6. tang. cos C 8 sin«— cos. tang 5. cos C : aà b Setzt man nun, um zum ebenen Dreiecke über zu gehen, tang«= R tang 6 K' .. b, 1 3; sin a= K. sin 2— R cos a= 1 und cos Hβ= 1 und multiplicirt Zähler und Nenner mit R, so erhält man die bekannten Formeln a. sin C b. sin C tang A=— und tang B=—— 5 b— a. cos C 5 a— b cos C

6. Zur Lösung derselben Aufgabe werden, namentlich, wenn es sich um die Berechnung der unbekannten Stücke handelt, in der sphärischen Trigonometrie vorzugsweise die Neper'schen Analogien angewendet, während man sich in der ebenen Trigonometrie des sogenannten Tangenten-Satzes bedient. Auch dieser Satz ergiebt sich mit Leichtigkeit aus den Neper'schen Analogien z. B. 1¼(A— B)= 1 C sin 2(&— tang ½(A B)= cotg ½2 C. Sin Wh(e g ane 1 4. 6 1½ C 4⁰8 1½(A- 9 tang ½(A+ B)= cotg ½ C. Cos. he(a.. 5) durch einander dividirt, giebt 1 sin ½(n—) Ccos ½(4— 9) 1/—. † 1„+=. 1 2—*—— r tang ½(A— B): tang ½ A Sii Ees(e h whe 1i(e e oder tang ½(A— B): tang ½(A—= tang(a—): tang ½( ‧+—) woraus sich, wenn man tang ½(⁴— 5)= 2— 2 R b„tang ½(aͥ+ 5)= 4 setzt und Vorder- und Hinterglied des zwejten Verhältnisses mit 2R multiplicirt, der Tangentensat⸗z tang ½(A— B): tang ½ A+ B)= a— b: à+ b ergiebt. .Auch auf die Gauss'schen Gleichungen lässt sich dasselbe Princip und Verfahren anwenden, um ihren Sinn auf das ebene Dreieck zu übertragen. Aus den beiden Gleichungen sin t(— 3)— sin ½(A— B) sin ½(⁴ ◻) c0s ½(A— B) ,—, und-.———— sin ½„ C0s8 ½ C sin 12„ sin ½ C ergeben sich in Folge der anzuwendenden Substitution die für das ebene Dreieck richtigen Sätze