Es läuft die ganze Operation schliesslich darauf hinaus, dass die Sinuszeichen in Wegfall kommen, indem man statt der Sinus der kleinen Winkel ihre Bogen eingeführt. 3. Der Cosinus-Satz der sphärischen Trigonometrie cos— cos 6. cos„ cos A=— sin. sin„ liefert in Folge der Substitution und der Annahme, dass R unendlich ist den unbestimmten Ausdruck

87 und bedarf daher einer Umformung, welche in folgender Weise ausgeführt werden kann. Man

fügt im Zähler cos G— cos Hβ= o bei und hat demnach Cos&— cos 6β+ cos β— cos cos„ — sin 8. sin„ cos— cos β+₰ cos 1— cos cos A= 908 408. 6.* C0s..( 2 sin S. sin„ woraus sich nach Anwendung der bekannten Sätze über die Differenz zweier Cosinus und das Quadrat des Sinus des halben Winkels ergiebt cos A=— 2 sin 2(«* 6). sin ¼(.— 8)+ 2 cos f. sin ² ½„ sin 8. sin„

608 A= oder

G; a—. 4 aàa— b Setzt man nun sin ½(aͥ+)= 2 R sin ½(— S)= 2 R 00s 6= 1, b; GC sin ½= 25 sin β= und sin„= R. 80 erhält man —(a+ b). b) 2 R² 2 R2. cos A= be—. woraus sich 2 2— à2. c0s A= hererrgiſe w ergiebt.

4. Der Satz, nach welchem der Cosinus einer Seite des sphärischen Dreiecks aus den beiden anderen Seiten und dem von denselben eingeschlossenen Winkel gefunden wird, verwandelt sich nach einer ähnlichen Umformung in den analogen planimetrischen Satz. Um das Quadriren zu vermeiden, zieht man beide Seiten der Gleichung

cos«= cos 6. cos+ sin„. sin y. cos A von der Einheit ab und erhält successive die folgenden Gleichungen 1— cos«= 1— cos. cos y— sin g. sin y. cos A 2 sin* ½ αχᷣ= sin 29+ cos 26— cos 6. cos„— sin§. sin). cos A 2 sin 2 ½ α= sin 28+ cos g(cos— cos y)— sin§. sin y. cos A 2 sin 2 ½ α= sSin 256+ 2 cos 8. sin ½(6+ y). sin ½(—„)— sin S. sin y. cos A

Setzt man in der letzten Gleichung

b c

2 b— sin ½= 2K' Sin 6=— R' sin ½(6+)=.

. 2— b sin ½(— 9)=— und cos ½= 1, so erhält man

2(b+ c)(Clr—) be. cos A 2 R Rz 2 Rz— u

woraus sich, wenn man mit 2 Ræ multiplicirt und die leicht ersichtliche kleine Reduktion ausführt, der bekannte Satz der ebenen Trigonometrie 42= b2— c*— 2be cos A erxgiebt.