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Reihen und gelangt nach der erforderlichen Reduction zu seinem Resultate, indem er die höheren Potenzen der unendlich kleinen Bogen gegen die niederen verschwinden lässt. Ich suche den Schülern durch die Construktion der Sinus- und Tangentenlinie zu immer kleiner angenommenen Bogen klar zu machen, dass die Linien sich an den Bogen um so mehr anschliessen, je kleiner er wird, und dass das Verhältniss der Sinus- und Tangentenlinie zu ihrem verschwindend klein werdenden Bogen die Einheit zur Grenze hat, während der Cosinus des verschwindenden Bogens gleich der Einheit wird. Zu demselben Resultate gelangt man auch, wenn man in dem Gleichungen

X 3 1 5⁵ 8 X=ð X+—, An 1.2.3 1. 2. 3. 4. 5 X 2 X4 c08 X= 1———+—

1.2 1. 5. 3. 4 annimmt, dass der in Theilen des Radius ausgedrückte Bogen Xx im Vergleich zum Radius ver- schwindend klein wird. Ist z. B. der Centriwinkel α und das Verhältniss des Bogens zum Radius

a. a;: R“ 80 wird sin= R und cos«= 1, wenn entweder a verschwindend klein oder R unendlich gross angenommen wird und dadurch die höheren Potenzen aus den Reihen verschwinden. Dass M..... dann tang«= R ist, ergiebt sich von selbst. Man braucht daher in den Formeln der sphärischen

Trigonometrie nur statt der Sinus und Tangenten der Seiten das Verhältniss derselben zum Radius und statt der Cosinus der Seiten die Einheit zu setzen, um die Bedingung zu erfüllen, dass die Seiten ein Vergleich zum Radius verschwindend klein sind und das Dreieck sich zu einem ebenen gestaltet. Ein Theil der Formeln liefert dann unmittelbar den analogen Satz aus der ebenen Trigono- metrie, andere müssen vor der Substitution zweckmässig umgeformt werden, weil sie sonst zu

identischen Gleichungen führen oder unbestimmte Ausdrücke, wie z. B. 3 geben.

Ich werde die Operation für die wichtigsten analogen Sätze in dem Nachstehenden ausführen und dabei die Winkel der ebenen, wie der sphärischen Dreiecke mit den grossen Buchstaben A, B, C, die Länge der denselben gegenüberliegenden Seiten mit den kleinen Buchstaben a, b, c, die Centri- winkel der Seiten des sphärischen Dreiecks oder die in Graden, Minuten und Secunden ausgedrückten Seiten dagegen mit den griechischen Buchstaben α, 6, y bezeichnen. Es wird demnach in den betreffenden Formeln der sphärischen Trigonometrie

. 4. h. 8 sin«= NK. Sin 9= R' sin y=, b. tang«᷑= P. tang 6=. tang„= 1

C0s= 1, Cos β= 1, cos= 1 zu setzen und R unendlich gross zu nehmen sein, damit der analoge Satz für das ebene Dreieck zum Vorschein kommt.

1. Der Pythagoräische Satz ergiebt sich mit Leichtigkeit aus dem analogen Satze, dass im sphärischen Dreiecke des Cosinus einer einem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite gleich dem Producte der Cosinus der beiden anderen Seiten ist; also wenn α dem rechten Winkel A gegenüber- liegt, ist

Cos α=(os 6. cos y. Die Gleichung wird durch Einführung der Sinus umgestaltet in VI n«= VI= ins. VI Sin⸗ und liefert nach Beseitigung der Wurzeln und der leichten Reduktion sin 2= sin 28+ sin 2y— sin 29 sin 2).