4 zu benützen, so empfiehlt es sich doch noch mehr, dieselbe den Schülern aus der Beziehung zu erklären, welche die dreikantigen Ecken zu den sphärischen Dreiecken haben, die streng genommen mit ihnen identisch sind, indem die Seitenwinkel der Ecken die Centriwinkel zu den Seiten der sphärischen Dreiecke und die Neigungswinkel der Ecken die Winkel der sphärischen Dreiecke sind.

Sämmtliche bei der Betrachtung der Ecken bewiesene Sätze lassen sich, wenn man beim Vortrage der Stereometrie bis zur Kugel vorgerückt ist, mit Leichtigkeit und in kurzer Zeit auf die sphärischen Dreiecke übertragen, und kann hier wohl auch leicht noch eine kleine Ergänzung des Lehrstoffs erlangt werden, von welcher ausgehend man auf bis dahin noch nicht bewiesene Eigen- schaften der dreikantigen Ecke rückwärts schliessen kann. Ist nun bewiesen, dass das betreffende System von Sätzen auch für die sphärischen Dreiecke Geltung hat, so braucht man sich nur vorzu- stellen, dass die Kugel, auf deren Oberfläche die Dreiecke construirt sind, überaus gross wird, während die Länge der Seiten der Dreiecke constant bleibt, um den Uebergang der sphärischen Dreiecke in Dreiecke, welche von ebenen gradlinigen Dreiecken nicht mehr zu unterscheiden sind, zu verfolgen uud die Ueberzeugung zu gewinnen, dass für das betrachtete kleine Stück der grossen Kugelfläche die Sätze der Planimetrie gewiss sehr annähernd gelten, und dass man nach denselben messen und rechnen darf, ohne einen erheblichen Fehler zu begehen.

Der in der Elementar-Mathematik geschulte Verstand wird allerdings hier immer die Ein- wendung machen, dass eben nur eine Annäherung vorhanden ist, und der in solchen Scrupeln befangene Anfänger wird, um den Uebergang der Kreisbogen in die gradlinigen Seiten und der krummen Fläche in die Ebene zu begreifen, den Begriff des Unendlichen in sich aufnehmen und sich eine Kugel von unendlich grossem Radius vorstellen müssen. Die ihm gewissermassen durch die Empirie dargebotene Uebereinstimmung der Sätze, welche in aller Strenge für die ebenen Dreiecke wie für Dreiecke auf einer unendlich grossen Kugel gelten, wird ihn zu dem kühnen Sprunge ins Unendliche ermuthigen, ebenso wie sie ihm die richtige Auffassung der verschwindenden, unendlich Kleinen, und doch von der Null verschiedenen Grössen erleichtern wird. Man kann nämlich, um den Uebergang vom sphärischen Dreiecke zum ebenen zu verfolgen, auch umgekehrt verfahren, indem man ein auf einer constanten Kugelfläche construirtes Dreieck immer kleiner werden lässt, bis es zu einem Punkte zusammenschwindet. Das im Vergleich zur Kugelfläche unendlich kleine Dreieck besitzt, sonst für sich betrachtet, alle Eigenschaften des ebenen Dreiecks, und die darauf bezogenen, analogen Formeln der sphärischen Trigonometrie verwandeln sich in Folge der Amahme, dass die Seiten im Vergleieh zu dem Kugelradius unendlich verschwindend klein sind, in die Formeln der ebenen Trigonometrie. In diesem Sinne hatte also der verewigte Professor G. F. Pohl vollkommen Recht, wenn er sagte, dass die ebene Trigonometrie in der sphärischen vollständig enthalten sei. Wie er den Gedanken durchgeführt hat, ist mir freilich durch meine Schuld unbekannt geblieben.

In den mir bekannten Lehrbüchern der Trigonometrie ist dieser Zusammenhang zwischen der ebenen und sphärischen Trigonometrie nicht berücksichtigt, und ich würde fast zu der Annahme verleitet worden sein, dass derselbe, wenn auch den Mathematikern überall gewiss bekannt, doch nicht hinreichend beachtet worden sei, wenn nicht Liersemann in einer interessanten Programm-Ab- handlung*) durch eine kurze Behandlung des Gegenstandes mich eines besseren belehrt hätte. Es geht aus seiner Mittheilung hervor, dass er ebenso wie ich bemüht gewesen ist, die Schüler in das Verständniss des Gegenstandes einzuführen, dass wir dabei aber nicht denselben Weg eingeschlagen haben. Liersemann substituirt in den beiden von ihm zur Erklärung des Verfahrens gegebenen Beispielen(Sinussatz und Cosinussatz) für die petreffenden Kreisfunktionen, deren Entwickelung in

*) 0 1 M 0. Eine mathematische Studie. Wissenschaftliche Beilage zum 10. und 11. Jahresbericht der König Wilhelms-Schule zu Reichenbach in Schlesien. Von deren Director Dr. Carl Heinrich Liersemann. 1878 u. 1879.