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Ableitung der Gleichungen(y) und() aus dem Fundamental⸗Satze der ſphäriſchen

Trigonometrie. cos a— cos b. cos c cos b— cos a. cosc cos c— cos a. cos A=.—, cos B=—. cos C= 1 Los a- cosib sin b. sin c sin a. sin c sin a. sin b

sin a. cos a— sin a. cos b. cos c+ sin b. cos b— sin b. cos a. cos c

cos A+ cos B=... sin a. sin b. sin c

1 2(sin 2 a+ sin 2 b)—(sin a cos b cos a sin b cos G cos A+ cos B= 12 5 sin a. sin b. sin c sin(a+ b) cos(a— b)— sin(a+ b) cos c sin(a+ b) ſcos(a— b)— cos c cos A+ cos B= 8 2 3—= b) L— 8) — sin a. sin b sin a. sin b. sin c * sin a. sin b— cos c+ cos a. cos b cos(a— b)— cos c 1— cos C=— 0 3 3 4 sin a. sin b sin a. sin b

Dividirt man die beiden letzten Gleichungen durcheinander und hebt die gleichen Factoren cos(a— b)— cos c und sin a sin b im Zähler und Nenner auf, ſo erhält man die Gleichung

0) cos A cos B sin(ar b) 7 1— cos C sin c Die Gleichung(G) wird ebenſo entwickelt. sin b. cos b— sin b. cos a. cos c— sin a. cos a+ sin a. cos b. cos c cos B— cos A= sin a. sin b. sin c — 1%¼(sin 2 a— sin 2 b)+(sin a. cos b— cos a. sin b) cos c cos B— cos A= 2‧ 4) 0— sin a. sin b. sin — cos(a— b) sin(a— b) sin(a— b) cos c sin(a— b)(cos c— cos(a+ b) cos B— cos A=— 7—.. sin a. sin b. sin c sin a. sin b. sin c sin a. sin b+ cos c— cos a. cos b cos c— cos(a+ b) 1+ cos C=..=—— sin a. sin b sin a. sin b

Der Quotient der beiden letzten Gleichungen iſt die Gleichung cos B— cos A sin(a— b)

) 1+ cos C sin c Die beiden andern Gleichungen(s) und(C) kann man entweder in ähnlicher Weiſe von den Gleichungen cos A+ cos B cos C ces B+ cos A cos C cos C+ cos A cos B 908 a sin B sin C 3*038 b sin A sin C„(08,0— sin A sin B

oder aus() und(6) durch die Benützung der d zwiſchen den gegenüber liegenden Seiten und Winkeln in Polar⸗ dreiecken ſtattfindenden Beziehung ableiten.

Ableitung der Repper'ſchen Analogien.

Durch die Anwendung der Gleichungen:

a+ b a+ b— a— b sin(a+ b)= 2 sin 5 cos, sin(a— b)= 2 sin 2 os— ein e= 2 sin—. cos 2 1+ cos e= 2 cos², 1— cos e= 2 sin?² 2. b—— b cos a+ cos b= 2 cos 2.ws“ os b— cos a= 2 sin 4—2 b sin e

und der auf die Winkel des Dreiecks A, B, C bezogenen ähnlichen Gleichungen bringt man die Gleichungen (T),(d),(·) und(d) in folgende Form: