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Die Multiplikation der Gleichungen(I) und(II) und der Gleichungen(III) und(IV) liefert, wie aus dem Vorausgeſchickten folgt, die Sniadecki'ſchen Gleichungen(a) und(51) oder nach der Umformung(a) und(g). Wenn man dagegen die Gauß'ſchen Gleichungen bei der Multiplikation anders combinirt, alſo(I) mit(III), (II) mit(IV),(II) mit(III) und(I) mit(IV), ſo erhält man vier Gleichungen, welche nach einer leichten Reduction die folgende Form annehmen:

sin(a+ b) cos A-— cos B(y) sin(A+ B) cos a+ cos b(e) Ssinc 1— cos C 4 sino 1+ cos c 3 1 e=l)= S a(g) S(A.= E)= e l. 0 9)

sin c 1+— cos C 3 sin C 1— cos c 57

Dieſe Gleichungen laſſen ſich ohne Schwierigkeit aus dem Fundamental⸗Satz der ſphäriſchen Trigonometrie, d. h. dem Ausdruck der Coſinus der Winkel eines ſphäriſchen Dreiecks durch Functionen der Seiten ableiten. In die folgende Form gebracht,

sin(a+ b): cos A+ cos B= sin e: sin vers. C sin(a— b): cos B— cos A= sin o: sin vers.(180— C) sin(A+ B): cos a+ cos b= sin C: sin vers.(180—e) sin(A— B): cos b— cos a= sin O: sin vers. c

laſſen ſich dieſe intereſſanten und nützlichen Gleichungen bequem in folgenden Sätzen ausdrücken und behalten:

Lehrſatz 3: Der Sinus der Summe zweier Seiten des ſphäriſchen Dreiecks verhält ſich zur Summe der Coſinus der gegenüber liegenden Winkel wie der Sinus der dritten Seite zum Sinusverſus des dritten Winkels.

Lehrſatz 4: Der Sinus der Differenz zweier Seiten verhält ſich zur Differenz der Coſinus der gegenüber liegenden Winkel wie der Sinus der dritten Seite zu dem Sinus verſus des Supplements des dritten Winkels.

Lehrſatz 5: Der Sinus der Summe zweier Winkel verhält ſich zur Summe der Coſinus der gegenüber liegenden Seiten wie der Sinus des dritten Winkels zum Sinus verſus des Supplements der dritten Seite.

Lehrſatz 6: Der Sinus der Differenz zweier Winkel verhält ſich zur Differenz der Coſinus der gegenüber liegenden Seiten wie der Sinus des dritten Winkels zum Sinus verſus der dritten Seite.

Aus den Gleichungen(α),(9), und(),(6),(s) und() kann man die Nepper'ſchen Analogien ſehr einfach dadurch ableiten, daß man(α³) oder(5) in oder durch eine der übrigen Gleichungen dividirt, da(a) und(9) die Producte der Gleichungen(1)(II) und(III) und(IV) und die übrigen(y),(d),(s),(8), die Producte der Gleichungen(1)(III),(II)(IV),(II)(III) und(I)(IV) ſind, mithin bei der Diviſion ſich die gleichen Factoren in(a) oder(s) und den übrigen Gleichungen aufheben und die Quotienten aus den Gleichungen ce n. 6. und 8 alſo die Nepper'ſchen Analogien erhalten werden müſſen.

Es iſt ferner leicht einzuſehen, daß wenn man die Gleichungen(),(6),(),(8), durch die entſprechenden Nepper'⸗ ſchen Analogien multiplicirt oder dividirt, man die Gauß'ſchen Gleichungen im Quadrat finden muß, alſo durch

das Ausziehen der Quadrat⸗Wurzeln zu dieſen Gleichungen ſelbſt gelangen kann. Multiplicirt man z. B. die

Gleichung(y) oder(I)(III) mit der Analogie(1) oder am ſo erhält man das Quadrat der Gleichung(I)

dividirt man(y) durch(1), ſo erhält man das Quadrat der Gleichung(III). Die Gleichungen(II) und(IV) ergeben ſich, wenn man die Gleichung(6) durch die Analogie(2) dividirt oder multiplicirt.

Der Vortrag der im Vorangehenden erörterten Entwickelung beginnt mit Ableitung der Gleichungen(a) und(5), läßt die Ableitung der Gleichungen(y),(d),(6,() folgen, worauf durch Diviſion und Multiplikation der betreffenden Gleichungen die Nepper'ſchen Analogien und die Gauß'ſchen Gleichungen erhalten werden.

Für Anfänger mag noch die folgende Ausführung nützlich ſein.