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Hier ſind auf der linken Seite der Gleichung(91) in Zähler der 1., im Nenner der 2. und auf der rechten Seite im Zähler und Nenner der 1. Factor in die eine Gleichung(III) aufgenommen. Die Gleichungen(II) und(IV) ergeben ſich dann von ſelbſt.
Eine Probe für die Richtigkeit der Gleichungen kann man zum Beiſpiel machen, wenn man in(I) und(III) a= b und A= B. ſetzt, alſo annimmt, daß das Dreieck gleichſchenklich iſt. Die dadurch erzielten Formeln gelten dann für das rechtwinkliche ſphäriſche Dreieck, welches die Hälfte des gleichſchenklichen iſt. Sind die
.... b Seiten desſelben a, b cz und die Winkel 90⁰°, B C ſo wird man in den Formeln(I) und(III) 2 4 an, — B— C„ 4— 4= 0 4 2 Bi, 2= e und— C. und man erhält dadurch die Gleichungen sin a 1 und 903 a, cos B. sin c sin C, cos c- sin C. welche in die bekannten für das rechtwinkliche ſphäriſche Dreieck giltigen Formeln übergehen: sin C.= ain el und cos B.=— 3 sin a, tang a,—
Nimmt man den Radius der Kugelfläche unendlich groß und demgemäß das Dreieck als eben und grad⸗ linig an, ſo kann man ſtatt der Sinus und Tangenten die verhältnißmäßig ſehr kleinen Seiten nehmen und erhält die Gleichungen:
sin C= et und cos B=—, a. A welche bekannten Sätzen aus der ebenen Trigonometrie entſprechen, nämlich daß im rechtwinklichen Dreiecke der Sinus eines Winkels gleich der gegenüber liegenden Kathete dividirt durch die Hypotenuſe, und der Koſinus gleich der anliegenden Kathete dividirt durch die Hypotenuſe iſt.
Dividirt man die Gleichung(I) durch(III) und Gleichung(IV) durch(II); ferner Gleichung(II) durch(III) und Gleichung(IV) durch(I) ſo erhält man nach der leichten Reduction die folgenden vier Gleichungen, welche als Nepper'ſche Analogien bekannt ſind:
cos A— B cos 4.2 a+ b c 2 A+ B C 2„ tang—= tang 2—=p(1) tang— cotg z..(3) cos— cos 2 2 in 1 B in AE t 1—5b— tang 29 2 tang—, 3= cotg 5 2 4 ang iang z. 1(2²) coig yy..(4) sin 2— sin 2—
Die Richtigkeit dieſer Gleichungen ſpricht ebenfalls für die richtige Zerlegung der Sniadecki'ſchen Gleichungen. Man kann auch mit den Nepper'ſchen Analogien eine intereſſante Probe vornehmen, indem man(1) durch(2) oder(3) durch(4) dividirt. Man erhält:
tang tang tang 2b: tang 4— 5 2 2 2 und gelangt zu dem bekannten Satze aus der ebenen Trigonometrie + B A— B tang 2 tang a b: a— b,
wenn man bei den Seiten das Tangenten⸗Zeichen wegläßt und dadurch das ſphäriſche Dreieck in ein ebnes und gradliniges Dreieck übergehen läßt.
Der Weg zu einer wirklichen Ableitung der Nepper'ſchen Analogien und zur Zerlegung der Sniadecki'ſchen Gleichungen in die Gauß'ſchen Gleichungen, dürfte durch folgende Betrachtung am deutlichſten zu bezeichnen ſein.