Ueber die Ableitung der Uepper'ſchen Aualogien und der Gauß ſchen Gleichungen.

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Sniadecki bemerkt in ſeiner ſphäriſchen Trigonometrie“) pag. 21, nachdem er die Delambre'ſchen oder Gauf'ſchen Gleichungen aus den Cagnoliſchen Gleichungen abgeleitet hat, daß dieſelben zuerſt von Delambre in der Connaissance des tems 1807 ohne Beweis bekannt gemacht und hierauf von Gauß 1809 in der„Theoria Motus Corporum Colestium“ ebenfalls ohne Beweis aufgeſtellt und durch die Benützung bei ſehr wichtigen aſtronomiſchen Aufgaben in den Gebrauch eingeführt worden ſeien. Sniadecki ſelbſt habe, als er im Anfange des Jahres 1811 Gauß's Werk zu Geſicht bekommen, erſtaunt über die Einfachheit der Gleichungen und über ihren Gebrauch, einen Beweis für dieſelben geſucht und denſelben, ſo wie er in ſeinem Buche geführt iſt, am 24. März 1811 der Kaiſerlichen Akademie der Wiſſenſchaften in Petersburg überſandt. Delambre habe erſt in ſeinem großen und vortrefflichen Werke über die Aſtronomie, welches in Paris 1814 erſchien, den Beweis auf eine ganz andere Art geführt und die Gleichungen aus den Nepper'ſchen Analogien abgeleitet, wodurch die Rechnung verwickelter und weitläuftiger geworden ſei. Schließlich bemerkt Sniadecki noch, daß zwei aus dem bekannten Sinusſatze in der ſphäriſchen Trigonometrie leicht abzuleitende Gleichungen, auf welche er bei dem Bemühen, den Beweis noch kürzer zu geben, gekommen zu ſein angiebt, das Produkt von je zwei der Gauß'ſchen Gleichungen ſind, welche zu trennen oder einzeln zu erhalten ihm jedoch nicht gelungen ſei.

Dieſe Bemerkung führte mich zu einem Verfahren, durch welches man auch Anfängern die Nepper'ſchen Analogien und die Gauß'ſchen Formeln leicht zugänglich machen kann, welches ſich daher für den Vortrag der ſphäriſchen Trigonometrie auf Schulen empfehlen dürfte. Um den leitenden Gedanken offen darzulegen, werde ich zuerſt die beiden Formeln Sniadeck''s aus dem Sinusſatze ableiten.

Aus den Proportionen, welche den Sinusſatz ausdrücken

sin a: sin c= sin A: sin C

sin b: sin c= sin B: sin C ergeben ſich die Gleichungen

sin a sin C= sin A sin c

sin b sin C= sin B sin c

Wenn man dieſe Gleichungen einmal addirt und einmal von einander ſubtrahirt und die gemeinſchaftlichen Factoren, außerhalb der Klammern ſetzt, ſo erhält man: (sin a+ sin b) sin C=(sin A+ sin B) sin c (sin a— sin b) sin C=(sin A— sin B) sin c, *) Johann von Sniadecki's ſphäriſche Trigonometrie in analytiſcher Darſtellung, aus dem Polniſchen überſetzt von L. Feldt, Leipzig bei Schwickert 1828