tang 2+ tang a

lang 34= 1— tang 2 α tang a 2 tang α — 1— tang a* T. tang ⸗ 2 tang ———t 1 1— tang a 15 3 tang— tang as — 1— 3 tang a* ſo erhält man mit Einſetzung der angegebenen Werte für die Vierteilung: 8— d a2— X „ y2

Entwickelt man in derſelben Weiſe tang 4 αaus tang 3 a, und mit jedesmaliger Be⸗ nutzung der vorhergefundenen Werte tang 5 α, tang 6 α ec., ſo erhält man: a—- X 4 Xy— 4 3 y

„ y

5) 2= x BXy4 10 ¼ 2. K y y5— 10 XxX* y+ 5 X y

6) a—- X 6 xy 5— 20 x³„+ 6 X5y y yô— 15 XZ„S4+ 15 ¼4 v²— XG

für die Teilung in fünf, ſechs und ſieben gleiche Teile. Ein einziger Blick auf die rechten Seiten dieſer Gleichungen zeigt uns, daß bei denſelben die ſämmtlichen Glieder einer ganzen Potenz des aus den Summanden y und x gebildeten Binoms vorkommen; und zwar bilden die paarigen Glieder den Dividend, die unpaarigen den Diviſor des betreffenden Quotienten. Die Vorzeichen ſind ſowohl im Dividend als auch im Diviſor abwechſelnd plus und minus, ſo daß alſo jedesmal die beiden erſten Glieder des potenzirten Binoms poſitiv, die beiden folgenden negativ, die dann wieder folgenden poſitiv ꝛc. ſind. Der Potenzexponent iſt immer um 1 kleiner als die Anzahl der geſuchten Teile des Winkels. Durch Induction läßt ſich nun leicht zeigen, daß dieſe Geſetzmäßigkeit auch weiter für jeden beliebigen Wert von n Geltung hat. Es wird nämlich tang(P+ 1)«ᷣ aus tang p æ auf analoge Weiſe gebildet, wie die folgende Potenz eines Binoms aus der vorhergehenden. Ein Beiſpiel ſoll uns das nähere zeigen: tang 5+ tang α

1— tang 5 tang α 5 x 4— 10 x v2+ X”5+. ys— 10 5 XI y y 5 xX— 10 x³ y²2+ X5 X y5— 10 x² y+ 5 Xα y 1 y

tang 6 ᷣ—=

1—