Betrachten wir zunächſt den Dividend dieſes zu vereinfachenden Doppel⸗Quotienten, ſo er⸗ halten wir das Product aus x und ys ſowohl durch Multiplication von 5 x„4 mit y, als auch durch Multiplication von yb mit x; ebenſo das Product aus x und ys ſowohl aus 10 xα y2 mal y, als auch aus 10 x2‿ mal x.
Es treten aber auch, wie leicht zu ſehen, die gleichnamigen Glieder, hier alſo(+ 5 xy5) und(+ 1 xy5), ferner(— 10 x¼*s) und(— 10 s„³) ꝛc. ſtets mit gleichem Vorzeichen auf, werden alſo zu einander addirt, genau ſo wie es bei der Bildung der(n+ 1) ten Potenz eines Binoms aus der nten Potenz geſchieht. Da ferner zwiſchen den Gliedern 5 xy4 und— 10 y2 2c., ſowie zwiſchen yõ und — 10 xα2 ec. je ein Glied der vollſtändigen Potenz fehlt, ſo können auch bei der neuen Producten⸗ Bildung nur wieder die paarigen Glieder im Dividend auftreten. Das Product aus den Nennern der Einzelbrüche fällt natürlich weg.— Aehnliches gilt auch vom Diviſor des Doppel⸗Quotienten.— Das Geſagte kann übrigens auch leicht an einer allgemeinen Formel nachgewieſen werden.
Man erhält mithin für die Teilung eines Winkels in gleiche Teile einer Curve, deren Gleichung die folgende iſt: „(r vn er(3 vn 42 3—(rer P E
9——— 5 2— 1——
y y n 1—(2)y- 38(1 t) a PxX P 1 P wo E und PF die noch näher zu beſtimmenden Entglieder jeder Reihe ſind. Was zunächſt das Vor⸗ zeichen der allgemeinen Glieder anbetrifft, ſo hängt das von dem Werte von p ab; es iſt plus, wenn p=4m+ 1, minus dagegen, wenn p= 4m— 1 iſt, wo m eine ganze poſitive Zahl be⸗ deutet. Das Endglied E iſt 4½ Xn-, wenn der Winkel in eine gerade Anzahl von Teilen geteilt
werden ſoll; im anderen Falle heißt es †() y xn- 2. Das Vorzeichen hängt hier eben⸗
— falls von der Größe von n ab und iſt poſitiv für n= 4 m+ 2 undn= 4 m+ 3. Mit dem Endgliede F verhält es ſich, was den abſoluten Wert anbelangt, umgekehrt wie mit E; bei einer ungeraden Anzahl von
Winkelteilen heißt es 4 xX 41, bei einer geraden †¼(4) y X n. 2 Es iſt poſitiv fürn=4 m+1
und n= 4m+ 2, in den anderen Fällen negativ.— Aus der angeführten allgemeinen Gleichung ergiebt ſich ferner noch, daß die n-Teilung immer zu einer Gleichung nten Grades führt; doch iſt der höchſte Exponent von y immer nur n-— 1. Ferner treten für ein ungerades n nur gerade Potenzen von y, und umgekehrt, auf, während x mit allen möglichen Exponenten vorkommt. Soviel über die allgemeine Curvengleichung, die alſo, wie wir ſehen, die ſofortige Anwen⸗ dung auf jeden ſpeciellen Fall ermöglicht. Gehen wir nun etwas näher auf die Dreiteilung und, ſoweit es die einem Gymnaſial⸗Programm gezogenen Grenzen geſtatten, auch auf die Fünfteilung ein
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a. Die Dreiteilung. § 2. Verlauf der Curve.
Für die Triſections⸗Curve iſt im vorigen§ ſchon die Gleichung