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und ferner dæ—= 1. V4aπσηι ‿‿ abæ+ 5— 1 2a Setzen wir diese werte in die erste gleichung ein, so kommt

„=(2‿*‿ νQν21ανννεae 52—1+ J.(2 b+ 4*— 24 4 alæ+ 4abæ+ 52— 1)+ C

die explicite curvengleichung.

Solche curven, deren bogen sich als algebraische functionen der coordinaten der endpuncte ergeben, werden vorzugsweise„rectificabel“ genannt. Alle hier betrachteten fälle sind derartige gewesen, allein nur bei den drei fällen

. 7(2 a5b+ 4a*— 2a N4aπ+ 4abæ+ 52— 1).

3 §8= à‿½

2 §8= M³ 8= A

waren die erhaltenen curvengleichungen algebraisch, in allen übrigen fällen transscendent.

Es fragt sich nun, welche classen von algebraischen curven, d. h. curven, deren gleichung algebraisch ist, in dem angegebenen sinne rectificabel sind?

Nun ist die bei dem falle s= a. æ gefundene Neil'sche parabel die„evolute“ der ge- meinen oder Apollonischen parabel; mit der bei s= axν gefundenen astrois ist sehr nahe ver- wandt und vollkommen gleich gestaltet die curve, welche evolute der ellipse heisst.

Es fragt sich, wie es kommt, dass es grade evoluten von algebraischen curven sind, welche in der oben genannten bedeutung rectificabel sind?

Da wir in den vorliegenden untersuchungen nur einen specialfall untersucht haben, so ist. es möglich, dass allgemein der bogen der evolute von einer algebraischen curve sich als algebraische function der coordinaten der endpuncte darstellen lässt.

Nun ist aber, wenn(αm) die coordinaten des krümmungsmittelpunctes und o der krümmungs- radius sein sollen, welche einem gewissen puncte(x,„) einer curve= †(æ) entsprechen,

(—+%‿(—)“= O“* J.

durch differentiation folgt daraus(¶— α. dæ+‿— 3) d v„= 0 II. und daraus durch nochmalige differentiation

dæν+‿|°et—ν+‿)9— 9) d*„= 0 III.

Demnach ergeben sich für die coordinaten des krümmungsmittelpuncts die gleichungen (1+ 222

=& 9

IV.

Trägt man„,“ und„“ ein, so erhält man« und„ als functionen von x. Durch elimi- nation von æ aus diesen gleichungen findet man F β)= O oder G ‧= G(α.) eine gleichung zwischen a und 5, die gleichung der evolute.

Betrachten wir in gleichung Ia und„ als variabeln, so erhalten wir beim differenziren

(—) daæ+(ß— 6). d 5)=— 0. do V. desgleichen aus gleichung II. d œ. daæ+ d. d= 0 VI. wofür wir auch schreiben können d ν d

4 ·„ ‿1=0 VII.