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Wenn weiter 2 aæ+ /4a*— 120, so ist der logarithmus real, wenn dieser ausdruck negativ ist, d. h. rSc 2a wird er imaginär und für=2 wird der logarithmus null werden. 7. 1 Es gehören also die werte 2=+ 24 9— zusammen.

Wir haben nunmehr diejenigen fälle untersucht, auf welche der gröste teil aller brauch- baren werte des exponenten ¼ führt; dieselben sind sämmtlich als specialitäten des allgemeineren falles zu betrachten, bei dem der bogen s einer curve eine gegebene function der zugehörigen abscisse æ ist, wobei wir voraussetzen dürfen, dass die gegebene function eine rationale ganze func- tion von æ ist.

Wir haben dann die gleichung s= f(æ), woraus folgt

28= G=14(G).

dæ und daraus(42)=;(a)— 1, also d„= Vfa(x)— 1. dæ und demnach durch integration„= Vfdx)— 1. dæ+ C.

Wenn der radicand()— 1 den zweiten grad übersteigt, d. h. wenn †() keine lineare function von x, sondern eine höhere function ist, oder was dasselbe heisst, wenn(x) eine function von höherem, als zweiten grad ist, so fürt die gleichung auf ein elliptisches und höheres integral.

Wenn der zweite grad nicht überstiegen wird, lässt sich das integral one höhere trans- scendenten ausfüren.

Es sei zunächst(æ)= aæ+5 eine lineare function von æ, so ergibt die differentiation f(α)= a, also †()= a' und demnach ist= Sas— 1. dæ oder ausgeführt= ar— 1.+ C, wie wir oben schon gefunden haben.

Es sei zweitens †()= ax*+ be+c eine quadratische function von æ.

Wir erhalten dann †(τ) 2aæ+h b und durch quadriren †(‿)= 4 a*ναν †‿¶ 4 a be+† P*.

Setzen wir diesen wert in die gefundene formel ein, so kommt

„= SVWTaσν— labæ b= 1. dæ oder( 4a*Q+ 4 bæ+ b— 1 4a*ασ+ 4 b+ 5˙— 1 welches integral ausfürbar ist, da der radicand den zweiten grad nicht übersteigt. Wir setzen wie in früheren fällen 4 a*ασπ+‿ 4 b+ b2— 1—.— 1 d V4 alæ*+ 4 a5+ 57—1 4e=(42—1)L,19, 44755 X. pelee finden in bekannter weise die coöfficienten 4= ¼

dæ,