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Diese gleichung drückt aus, dass die tangenten in den puncten(x.ρ) und(.m◻β) normal zu einander sind.

Mit hilfe von gleichung VII geht die gleichung II über in

(1— 9)=-r— o) in die gleichung der tangente im puncte() der evolute.

Setzen wir diesen wert von(— S) in gleichung V und I ein, so kommt, wenn wir(a.—«) eliminiren doο*ν= daν+‿ 5“.

Wenn wir nun die länge eines bogenstücks der evolute von einem festen punct bis zum puncte(.m) gezält, mit bezeichnen, so ist doν doν+‿“, also ist auch do= do.

Das bogendifferential der evolute ist gleich dem differential des krümmungsradius.

Demnach können und dn nur um eine constante verschieden sein; es ist also σ+c; für einen andern punct der evolute(νρ) wird dann sein ‿‿ 0+e, also ‧—=(— 9“.

Die letzte gleichung zeigt, dass die länge eines beliebigen bogenstücks der evolute gleich ist der differenz der beiden krümmungshalbmesser der evolvente, welche die evolute in den end- puncten des entsprechenden bogenstücks berüren.

Da sich aber der krümmungsradius bei algebraischen curven immer algebraisch ausdrücken lässt, so haben wir den satz:

„Alle curven, welche evoluten von algebraischen curven sind, besitzen die eigenschaft, rectificabel in dem sinne zu sein, dass sich ihr bogen durch algebraische functionen des coordinaten der endpuncte darstellen lässt.“—

Demnach war es nur eine folge dieses allgemeineren gesetzes, wenn wir bei der unter- suchung des specielleren falles der abhängigkeit, nämlich der proportionalität von bogen und abscisse, gefunden haben, dass die Neil'sche parabel und die mit der evolute der ellipse gleichgestaltete und nahe verwandte astrois der art beschaffen sind, dass ihr bogen einer gewissen potenz der abscisse direct proportional ist.