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Wir wollen unter berücksichtigung des eben gefundenen resultates zunächst untersuchen, welche werte der exponent anzunehmen im stande ist.

In der gleichung s= soll ¼⁴ eine rationale zal bedeuten; ² kann also alle positiven und negativen, ganzen oder gebrochenen werte von— 0l bis+ 0 durchlaufen.

Die beiden grenzwerte=— 0 und=+ o entziehen sich jedoch der betrachtung.

Ebenso müssen wir den wert ᷣ= Oo von der untersuchung ausschliessen, weil die sich hier- für ergebende gleichung s= axe= a= const. keinen sinn hat, da der bogen als function der abscisse nicht constant, d. h. unabhängig von der abscisse sein kann.

Sehen wir zunächst, welche positiven ganzzaligen werte der exponent manneh- men kann:

40= 1 giebt§= G 40= 2 giebt§=* dS= da ds= 2. dæ ds*= da dS*= 4 dæ* dν½+ das= dæ d** † dæν= 4. daæ* d„*= de9*=(4*— 1) dæ* d„= 0 dg= V4æνι-— 1. dæ „= Const.

und hieraus „= JV4a*— 1. dæ, welches integral ausfürbar ist. 4= 3 giebt§= P ds= 3*. dæ ds?2= dT„*+ da—=. 9⁴. Ta d**=(9*— 1) da* dg= 9— 1. dæ

„= A 92*— 1. da oder wenn wir unter dem integralzeichen mit

und daraus

924—1 multipliciren und dividiren. „ T 92 1.„„ W52i

welches integral elliptisch ist, also hier nicht untersucht werden soll.

Jeder wert des exponenten*³, welcher grösser ist als 3, führt auf elliptische und noch höhere integrale, muss also ausgeschlossen werden.

Es fragt sich nun, ob zwischen den werten ⁴= 2 und 4ꝙ= 3 irgend welche gebrochene werte von ¼⁄ vorhanden sind, für welche die grösse unter dem wurzelzeichen im nenner des integrals den zweiten grad nicht übersteigt, sodass das integral ausfürbar bleibt.

Setzen wir zu diesem zweck u= 2+s, wobei s eine beliebig kleine zal bedeuten soll, so haben wir:

8§=„+₰0) ds=(2+† ½) ²†‿*ε- 1. da =(2+ 8)+αι. dæ, dS= da*+ dg?=(2+ s)“*„2+*. d** d„½—((2+«)“. x.0— 1] dæ

demnach

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