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Aus der curvengleichung s= a.* finden wir durch differentiation ds= a...—- 1. daæ. Diese gleichung verbinden wir mit dem ausdruck für das bogendifferential und erhalten somit eine differentialgleichung, durch deren integration wir die curvengleichung in anderer, zur discussion besser geeigneter,— weil explicite gegeben— form erhalten.
Die auftretenden differentialgleichungen gehören zu der einfachsten art, indem wir totale differentialgleichungen erster ordnung bekommen, bei welchen ausserdem die variabeln stets separirt werden können.
Man ersieht nun sofort, dass die werte, welche der exponent bei den folgenden betrach- tungen annehmen kann, durch die schwierigkeit, die entstehenden differentialgleichungen aufzulösen, sobald sie auf elliptische und höhere integrale füren, in sehr enge grenzen eingeschlossen sind.
Nur die innerhalb dieser grenzen gelegenen werte von können hier in frage kommen.
Gehen wir von der curvengleichung s= a. xνν aus, so finden wir durch differentiation ds= t. a. a! da. Ferner ist: ds= Vdæ*+ dy„, demnach haben wir die gleichung Vdæ †¶ d*= M. a. xℳε◻1. dæ, woraus durch quadriren und separiren der variabeln d„=( a. wn 1) dæ: und durch radiciren
d„= V(⁴ν. a*. α‿έα— 1). dæ
folgt. Setzen wir nun 42= ,2(u 1)
also 2 ℳ— 2
b= Va* und multipliciren auf beiden seiten der gefundenen gleichung mit 5, so erhalten wir b. d== Va*(bæ)— 1. 5b. da.
Setzen wir dann
5.= 8
b. VU= J was einer vergrösserung des massstabs der figur gleichkommt, so nimmt die letzte gleichung die gestalt an: dy= Va*.&&=— 1, d5.
Dieselbe form der gleichung würden wir erhalten haben, wenn wir die curvengleichung = E“ differenzirt hätten. Schreiben wir nun für S und der bequemlichkeit halber æ und e, so haben wir hier gefunden, dass wir anstatt der curvengleichung s= a. æ die curvengleichung s= untersuchen dürfen; natürlich müssen nach erfolgter integration die ursprünglichen werte wieder eingesetzt werden.
Bei allen untersuchungen, die den exponenten„¹ allein betreffen, bleibt die gemachte sub- stitution ohne einfluss.