Es soll im folgenden die aufgabe behandelt werden,

„Solche curven zu untersuchen, deren bogen einer potenz der abscisse proportional ist.“

Die hier in frage kommenden curven werden im allgemeinen die gleichung Ss=. zu befriedigen haben; für besondere werte des exponenten werden sich alsdann die einzelnen curven ergeben. In dieser gleichung bezeichnen wir mit æ die abscisse des endpuncts eines gewissen bogen- stücks s der curve, während a einen proportionalitätsfactor bezeichnet.

Der exponent ¼⁴ wird hierbei als eine rationale zal vorausgesetzt werden; er kann also alle positiven und negativen, ganzen oder gebrochenen werte, aber auch nur diese bei den folgenden untersuchungen annehmen.

Ein negativer ganzer wert des exponenten sagt aus: der bogen der curve soll umgekehrt proportional sein einer potenz der abscisse; bei positiven ganzen werten des exponenten soll der bogen einer potenz der abscisse direct proportional sein.

Ein gebrochener wert des exponenten% wird bedeuten, dass eine gewisse potenz des bogens einer gewissen anderen potenz der abscisse direct oder indirect proportional ist, je nachdem dieser gebrochene wert positiv oder negativ ist.

Um den bogen einer curve durch die coordinaten bestimmter puncte desselben ausdrücken zu können, müssen wir besondere puncte ausmachen, von denen aus sowol der bogen, als auch die abscisse gezält werden. Wir bedürfen also eines„nullpuncts der abscisse“ und eines„nullpuncts des bogens“. Es wird von vorteil sein, wenn wir annehmen, dass für æ= 0auch der bogen S= wird, weil bei dieser annahme eine etwa auftretende integrationsconstante entweder beseitigt oder einfach bestimmt werden kann.

Wir setzen bei den folgenden untersuchungen ein rechtwinkliges paralellcoordinatensystem voraus, da wir von schiefwinkligen systemen durch einfache transformation zu dem rechtwinkligen system übergehen können.

Polarcoordinaten sind durch die aufgabe ausgeschlossen.

Das verfaren, welches wir einzuschlagen haben, wird im allgemeinen folgendes sein:

Der bogen drückt sich als differential folgendermassen aus:

ds= Vdæν+ d„ —+(2) ae = VITW. dæ

nämlich als hypotenuse eines rechtwinkeligen differentialdreiecks mit den beiden catheten dæ und dy..