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Wählt man die Gerade„bæ= 0 als neue„— Axe, so geht diese Gleichung über in eine solche von der Form: K= aa. Durch Diskussion derselben findet man die drei von Newton aufgestellten Gleichungen: I.„2= aas+ had † ce+† d, 1 II. æg= aas+ bal † er+ d und III. g= aas †. bau †. ex 4. d.

Wenn man die durch II und III definierten Kurven so projiziert, dass die unendlich ferne Gerade auf die im Endlichen liegende Gerade= 0 fällt, so werden die Projektionen durch die Gleichungen

II.) æ„-h= àl ³ † bi*e † clxν † d ½ und IIIa) 9ν= al&+† b*2α☚ † cl x † d1 2 dargestellt.

Bei diesen Kurven ist æ= 0, 2= 0 ein Doppelpunkt und ½= 0 eine Tangente in dem- selben. Mithin ist auch in den ursprünglichen Kurven der in der Richtung æ= 0 liegende unendlich ferne Punkt ein Doppelpunkt und die unendlich ferne Gerade eine Tangente in demselben.

Da aber nur Inflexionstangenten ins Unendliche projiziert wurden, so können sich Kurven, die durch Gleichung II und III dargestellt werden, nicht ergeben.

Somit sind sämtliche Grundformen der Kurven dritter Ordnung, wie Newton zuerst angegeben hatte, in der Gleichung

9= aas † ba † ox † d enthalten. 3 Die Diskussion derselben liefert fünf Spezies, die von Newton als divergierende Parabeln bezeichnet wurden.

Die rationalen darunter sind in Fig. 19, 20 und 21(resp. 22, 23 und 24) gezeichnet.

Projiziert man die divergierenden Parabeln so, dass die Axen und„ in ihrer Lage verharren und die unendlich ferne Gerade der Ebene auf die Gerade ½= 0 fällt, so erhält man die Gleichung:

92*= d1 ³+ 51. 22½᷑+ cl—*2+ d 33, welche sämtliche Kurven dritter Ordnung enthält. Wird hierauf„= 0 ins Unendliche projiziert, so ergiebt sich eine Gleichung von der Form 2= an a † b, x2ν † c, x+† dα³.

Die Diskussion derselben liefert ebenfalls fünf Grundformen, die Centralkurven dritter Ordnung, deren Bedeutung für die Einteilung der Linien dieser Ordnung zuerst von Chasles erkannt wurde.

Rationale Centralkurven sind Fig. 9, 25 und 32.

4. Die Projektionen der rationalen Kurven dritter Ordnung.

Es giebt unter den divergierenden Parabeln drei, die zu den rationalen Kurven gehören. Die eine(Fig. 19) besitzt einen Knotenpunkt, die zweite(Fig. 20) eine Spitze und die dritte (Fig. 21) einen isolierten Punkt.