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Da bei der Projektion einer Kurve mit singulärem Punkte wieder ein singulärer Punkt derselben Art entsteht, so kann man jede rationale Kurve dritter Ordnung aus jeder anderen, die einen singulären Punkt derselben Art besitzt, durch Projektion finden.

So bilden insbesondere die Figuren 1, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 17, 21, 24, 28 und 36 eine Gruppe, bei der jede Spezies aus allen übrigen abgeleitet werden kann.

Eine zweite Gruppe bilden die Figuren 2, 7, 13, 16, 18, 20, 23, 25, 29 und 35, und eine dritte umfasst die Spezies: 3, 8, 11, 14, 15, 19, 22, 26, 27, 30, 31, 32, 33, 34, 37 und 38.

Die genauen Angaben, wie man durch Projektion jede Spezies der rationalen Kurven dritter Ordnung aus den divergierenden Parabeln erhält, findet man bei Salmon, höhere Plan- kurven, 1. Auflage, Art. 208— 211.

Man kann aber auch sämtliche Formen dieser Kurven aus Fig. 1, Fig. 2(der Cissoide) und Fig. 3(dem Folium Cartesii) durch Projektion finden. Da die genannten Spezies die Fuss- punktskurven der Parabel sind, so ist die Behauptung gerechtfertigt, dass alle rationalen Kurven dritter Ordnung als Projektionen der Fusspunktskurven der Parabel aufgefasst werden können.

Auf sehr leichte Weise lässt sich der Verlauf der Projektionen dieser drei Kurven aus der Form der ursprünglichen angeben, und es soll daher an der Gruppe der Kurven mit Doppel- punkt gezeigt werden, wie jede aus dem Folium Cartesii erhalten werden kann.

Die in der Ebene der Kurve liegende Gerade, welche ins Unendliche projiziert werden soll, werde mit ⁊2 bezeichnet.

Wird nun« parallel zu O102 gewählt und die Projektionsebene durch 0102 gelegt, so ergiebt sich Fig. 11, wenn ⸗ die Schleife berührt, „ 27„„„„ scehneidet, „ 30„„ links vom Doppelpunkt schneidet, „ 31„„ durch den Doppelpunkt geht.

Wenn die Projektionsebene nicht durch O10, geht, aber zu dieser Geraden parallel ist, so entsteht Fig. 19, falls ½ auf O102 fällt. Ist 2+ O00⸗, so entsteht Fig. 8, wenn ⁊ die Schleife nicht schneidet und Fig. 32,„„ durch den Doppelpunkt geht. Die übrigen Spezies mit Doppelpunkt lassen sich aus Fig. 3 folgern, wenn einen spitzen Winkel mit 0102 bildet. Man erhält jedoch viel anschaulicher die fehlenden Formen, indem man Projektionen von Fig. 8 bildet, was gestattet ist, weil diese Spezies auch eine Fusspunktskurve der Parabel ist. Wird wiederum æ ll 0102 gewählt und die Projektionsebene durch 0102 gelegt, so ergiebt sich Fig. 14, wenn ⸗2 die Schleife berührt, „ 15„„ links von 0102 berührt, „ 33„„ die Schleife schneidet, „ 34„„ links von 0102 schneidet, „ 37„„ durch den Doppelpunkt geht. Um Fig. 38 zu erhalten, muss«æ+. 0102 durch den Doppelpunkt gelegt werden. Den Tridens(Fig. 26) erhält man aus Fig. 3 und 8, indem man eine Tangente des Doppelpunktes ins Unendliche projiziert.