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Um der Gleichung des gegebenen Kegelschnittes eine möglichst einfache Gestalt zu geben, ziehe man von 0a eine Tangente an denselben, wähle diese als„-Axe und den Durchmesser, der nach ihrem Berührungspunkte geht, als æ-Axe. Der Kegelschnitt hat dann die Gleichung

„2= 2 pr. Xl.

Die Wahl dieses Koordinatensystems ist dann nicht zulässig, wenn 0O2 der unendlich ferne Punkt der Hauptaxe einer Parabel oder Hyperbel ist. Mit dem ersten dieser beiden Fälle brauchen wir uns nicht zu befassen, weil dann O2 auch auf der Parabel liegt, was nicht zulässig ist, wenn schon 01 darauf liegt.

Und wenn 02 der unendlich ferne Punkt der Hauptaxe einer Hyperbel ist, so wähle man die durch O, und den Mittelpunkt gehende Gerade als„-Axe und die Tangente in einem der Schnittpunkte dieser Geraden als æ-Axe. Die Hyperbel hat dann die Gleichnng

= 2 p 9 †,(wo„ eine positive Zahl ist).

Bewegt sich P auf dem Kegelschnitte*[h= 2 pæ+† 7 aꝛë, so ergiebt sich, indem man berücksichtigt, dass= 2 p+ 7*², für die entsprechende Kurve dritter Ordnung die Gleichung

[— 9*— 40— a)er= v. G w)= 2 91 E.)— w) 4(2 4 41)(— x)).

Bewegt sich P auf dem Kegelschnitte= 2 p 9+ 7, so ergiebt sich, indem man beachtet, dass xl= 2 p+ 7 90, für die entsprechende Kurve dritter Ordnung die Gleichung

[—)— 40—) lr G r.)= 29 4„)(r— w.)— R.) K 4r1()ö= w)= 0. Setzt man in beiden Fällen

X

T,

X— Xz und„— J6 so geht die erste Gleichung über in: D(YT²— XI)(X+ xz)= xI I2— 2 i X Y+(2 p+ 7 ri) XZ und die zweite in: I)(Xz— 4 YD)(X+ xz))+†* XZ— 2(p+ 1 91) X I 4 I2= 0.

Il-

Diskussion dieser Gleichungen.

Da die Discriminante der rechten Seite bei Gleichung I, nämlich 4(½— 2 p xl—„**) gleich null ist,*) so kann diese Gleichung auf die Form gebracht werden (V2— 4 X)(X+ v)= vi(X A. X)z. 1

Bei den aus dem Kreise abgeleiteten Kurven ist das Koordinatensystem rechtwinkelig und 7=— 1. Dieselben sind also in der Gleichung (71+ XI)(X x)=r(X= BL= X) 1 enthalten.

Bei Fig. 1—4(incl.) ist= 0 und= 0. Die Gleichung von diesen vier Kurven ist mithin (+† Xꝛ)(X+† x)= 2 p XL.

*) Weil Oi auf dem gegebenen Kegelschnitte liegt, ist l²½— 2 x— Q ½ν= 0.