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Um den Kegelschnitt zu erhalten, der den rationalen Kurven dritter Ordnung entspricht, die von der unendlich fernen Geraden berührt werden und ihren Doppelpunkt im Endlichen haben, verlegt man Ou in den Doppelpunkt, Oa in den Berührungspunkt der unendlich fernen Geraden (dessen Richtung sich angeben lässt), O. in einen anderen Punkt der letzteren Geraden und zieht g so durch O2, dass es im Endlichen verläuft.

Für die noch fehlenden Kurven, die von der unendlich fernen Geraden berührt werden und ihren Doppelpunkt im Unendlichen haben, lässt sich natürlich der entsprechende Kegelschnitt dadurch finden, dass 0“ in den Doppelpunkt, Oæ in einen endlich fernen Punkt und Ou auf die Tangente in diesem Punkte verlegt wird. Es lässt sich jedoch eine einfachere Konstruktion finden, die im Wesentlichen darauf beruht, dass O, in den Doppelpunkt verlegt wird.

Auf die Einzelheiten dieser Konstruktion soll hier nicht eingegangen werden, weil wir bei der Ableitung der Gleichungen für diese Kurven darauf zurückzukommen haben.

Die gegenwärtige Untersuchung führt auf die Einteilung der rationalen Kurven dritter Ordnung in solche, die

1. ihren Doppelpunkt im Endlichen haben und nicht von der unendlich fernen Gé-

raden berührt werden,

2. ihren Doppelpunkt im Unendlichen haben und nicht von der unendlich fernen

Geraden berührt werden,

3. ihren Doppelpunkt im Endlichen haben und von der unendlich fernen Geraden

berührt werden und

4. ihren Doppelpunkt im Unendlichen haben und von der unendlich fernen Geraden

berührt werden.

§ 3.

Die Gleichungen der einzelnen Spezies der rationalen Kurven dritter Ordnung.

1. Kurven mit endlich fernem Doppelpunkt, die nicht von der unendlich fernen Geraden berührt werden.

Diese Kurven lassen sich zeichnen, indem man 0 auf einen Kegelschnitt, O, und g ins Unendliche und 0“ in einen beliebigen Punkt der Ebene verlegt und die dem Kegelschnitte zu- geordnete Kurve sucht.

Denkt man sich die„-Axe eines zweiaxigen Koordinatensystems durch O, gehend, so hat dieser Punkt die Koordinaten 0 Oœ. Wenn für die übrigen in Betracht kommenden Punkte die auf Seite 5 angegebene Bezeichnung beibehalten wird, so besteht zwischen den Koordinaten zweier einander zugeordneten Punkte die Beziehung

=a „—

— L.—= 1(„„— 7— u).