16 *1: o*:**= l: er: a oder al: or: rg= rl z::**2. In dieser speziellen quadratischen Verwandtschaft entspricht der Geraden al)ſ+† a2 2+† 43 u/3= 0 der Kegelschnitt ai æl+ aa x2 T 4† a3 xz x1= 0, welcher durch die Punkte Oo und Ou geht und Or z als Tangente in—a besitzt. Dem durch O gehenden Kegelschnitte 2 ais x1 α ł+2 ae αν † 2 aiz e1 α+ 2 aas v2*½ † a*= 0 entspricht die Gerade= 0 und die Kurve dritter Ordnung: 2 aus xil xe+ an xe xz † 2 an wi † 2 az e1 e.+ ags el e= 0, welche O“ als Doppelpunkt und Oa als einfachen Punkt besitzt und die von Qꝗ in a berührt wird.

Man überzeugt sich leicht davon, dass vorstehende Gleichung jede rationale Kurve dritter Ordnung bedeuten kann.

Verlegt man den Punkt Ou in den Doppelpunkt einer rationalen Kurve dritter Ordnung, O in einen beliebigen Punkt dieser Kurve, OA auf einen beliebigen Punkt der Tangente in OQ und zieht g durch Oa, so lässt sich wieder der Kegelschnitt bestimmen, mit Hilfe dessen die gegebene Kurve gezeichnet werden kann.

Man hat zu diesem Zwecke die Punkte der rationalen Kurve dritter Ordnung mit den Punkten O“u und O zu verbinden und zu dem Büschel 0“ ein perspektivisches zu suchen, indem man g als Axe der Perspektivität und Ol als Scheitel des neuen Büschels benutzt. Entsprechende Strahlen der Büschel O und O? schneiden sich in Punkten des zugeordneten Kegelschnittes.

Man beweist diese Behauptung leicht, indem man beachtet, dass die rationale Kurve dritter Ordnung die Gleichung

5(all α+‿ς à 22)(a el+ a r † a5 u2*)= 0 besitzt, und dass . Tl= A A ae, we= 1an a und a= 4**½ zu setzen ist.

Man findet die zweimal zu zählende Gerade= 0, die ebenfalls zweimal zu zählende

Gerade= 0 und den Kegelschnitt di ⁴r σ¶+2 d ᷣκ¶+ d3 4*32 † aπ̈ ᷣ+ d 4⁷= 0, welcher durch Ou geht und sonst keine spezielle Lage gegen das Dreieck 010-0“ besitzt.

Es ergiebt sich auch dann noch ein Kegelschnitt, wenn 0“ in den Doppelpunkt, O? in einen unendlich fernen Punkt der rationalen Kurve dritter Ordnung und 0. auf die nach diesem Punkte gehende Asymptote verlegt wird. Ferner darf auch noch, wenn der Doppelpunkt im End- lichen liegt, die Gerade g ins Unendliche verlegt werden.

Allein, wenn der Doppelpunkt im Unendlichen liegt, und O in den einfachen unendlich fernen Punkt der Kurve verlegt wird, darf man nicht gleichzeitig g ins Unendliche verlegen; denn wenn g durch 0“ geht, entsprechen sämtlichen Punkten der Ebene nur die Punkte einer Geraden. In diesem Falle ist g ins Endliche zu verlegen.

Hiernach sind wir im Stande, auf einfache Weise sämtliche rationalen Kurven dritter Ordnung zu zeichnen, die nicht von der unendlich fernen Geraden berührt werden.