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und die Gleichung der entsprechenden rationalen Kurve dritter Ordnung lautet: 2 an x σ ☛²‿ an x*³νmꝙακα † 2 aug*νꝙᷣ ◻ν‿ν 2 a a*1 ν οά+ an ⁴1 ν½¶= 0. Die Gleichungen der beiden Tangenten im Doppelpunkte Ou werden gefunden, indem man die letzte Gleichung auf die Form e⁴(ae ν+ς 2 das a2*ν+ a3 2)+ 2 an τνα ‿τ 2 alg ν εQ—⸗ 0 bringt und den Koeffizienten von 8 qgleich null setzt. Die Tangenten im Doppelpunkte werden real und verschieden grösser als „„ gleich, wenn ³?— ae a 4 gleich null wird. imaginär V kleiner als Die gleiche Bedingung ergiebt sich auch dafür, dass die Gerade= 0, d. i. 02 O3, den schneidet gegebenen Kegelschnitt V berührt V nicht schneidet

4. Einige spezielle Fälle, welche bei der Ausführung der Konstruktion der rationalen Kurven dritter Ordnung eine Vereinfachung bewirken.

Wenn die Gerade g durch O2 geht, so fallen die Punkte O, und O mit O2 zusammen, und die Dreiecke OrO, Oz, O4O sind nicht mehr vorhanden. Mithin kann man aus der Gleichung einer Kurve die der entsprechenden nicht mehr durch die auf Seite 11 angegebene Substitution finden.

Durch die Punkte Oi, O*, Oul und eine durch O, gehende Gerade ist auch eine quadratische Verwandtschaft definiert, deren Eigenschaften kurz angegeben werden sollen.

Bezeichnet man in dem Dreiecke OO⁴1

die Gleichung der Gegenseite von O mit α ⁹e. 0 „„„„„ Oe„ 2= 0 „„„ 0½1„ T.— 0

die Koordäinaten des Punktes P mit—ᷣſᷣ m die Koordinaten des zugeordneten Punktes P mit æ F]— und nimmt man an, dass g die Gleichung+£ αχ ‿= 0 besitzt, so hat P Ql die Gleichung a᷑ α—= 0 P O.„„ T al ſßn— al= 0 und die Gerade, welche von Ou nach dem Schnittpunkte zwischen g und P O gezogen ist, erhält die Gleichung: ar A † a a— 0. Zwischen den Koordinaten von P und P'’ existiert mithin die Beziehung: 21: l 2:= ll:— xν Ʒ½: T Tl oder. : g= 1 ,ᷣ:— 21 2.: 2*32. Wenn die Gleichungen von O Oe und O. O“ passend gewählt werden, so erhält die Gleichung von g die Form α—= 0 und die vorstehenden Beziehungen gehen über in: