14

Liegen die Punkte O; und 0l auf dem gegebenen Kegelschnitte, so zerfällt die zugeord- nete Kurve in die zwei Geraden= 0, 1= 0 und in den Kegelschnitt 2 an Q‿+ an 1 ½+ 2 als* 22ꝗ+† 2 a3 1 ½= 0. Rücken endlich die drei Punkte Oi, O, O; auf den gegebenen Kegelschnitt, so zerfällt die zugeordnete Kurve in die vier Geraden x⁴= 0,*½= 0,= 0 und au a+ ad* †+ da= 0.*)

2. Umkehrung. Aufsuchung des Kegelschnittes, mit Hilfe dessen eine gegebene rationale Kurve dritter Ordnung gezeichnet werden kann.

Lehrsatz. Rückt einer der Punkte Ol, Oa, Og in den Doppelpunkt einer rationalen Kurve dritter Ordnung und die beiden übrigen Punkte auf beliebige Punkte dieser Kurve, so besteht die entsprechende Kurve aus vier Geraden und einem Kegelschnitte.

Beweis. Die Gleichung

x1(al x+ az A+ d x**)+ d4 I † d5 A xe= 0 stellt sämtliche rationale Kurven vor, die Or als Doppelpunkt, Oæ und Oz als einfache Punkte besitzen. Die entsprechende Kurve hat die Gleichung æ³ τσjꝓε½(ai τα+£‿ aꝛ 3+%&h as ν+ al ℳ1 †% as*1*)= 0.

Sie besteht mithin aus der zweimal zu zählenden Geraden= 0, aus den Geraden

½= 0,= 0 und aus dem Kegelschnitte 21 ½ν+£‿ι a* ν σκ tε‿ α‿ς ν‿+‿ au ν ꝙνσν+ a5 ν ⁶ι— 0, welcher durch 04 geht.

Ganz gleich gestaltet sich die Beweisführung für die zwei Fälle, in welchen je einer der Punkte O oder Oz in den Doppelpunkt rückt.

Man kann ferner mit Leichtigkeit die Gerade konstruieren(und ihre Gleichung angeben), mit deren Hilfe der zuletzt gefundene Kegelschnitt unter Benutzung einer bestimmten quadratischen Verwandtschaft konstruiert werden kann.

Somit kann man auch jede rationale Kurve dritter Ordnung auf lineare Weise aus einer Geraden unter Benutzung von zwei quadratischen Verwandtschaften konstruieren.

3. Bestimmung der Art des Doppelpunktes der rationalen Kurve dritter Ordnung aus der Lage des gegebenen Kegelschnittes gegen das Dreieck 010203.

Lehrsatz. Wenn 00 auf dem gegebenen Kegelschnitte liegt, so hat die entsprechende rationale Kurve dritter Ordnung einen Knotenpunkt schneidet eine Spitze, wenn die Gerade 02Oz den Kegelschnitt erue einen isolierten Punkt nicht schneidet Beweis. In dem erwähnten Falle hat der Kegelschnitt die Gleichung

2 2 2 au x α+ de+ 2 aig xr α † 2 a23+ ag rz= 0,

*) Hiernach kann man sehr leicht jeden der Kegelschnitte zeichnen, die einem gegebenen Dreiecke umbeschrieben sind.