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§ 2. Die rationalen Kurven dritter Ordnung.

1. Konstruktion der rationalen Kurven dritter Ordnung mittels der Kegelschnitte.

Lehrsatz. Rückt einer der Punkte Ol, O., O,(und zwar nur einer) auf einen Kegelschnitt, so ist in der angegebenen quadratischen Verwandtschaft die diesem Kegelschnitte entsprechende Kurve eine rationale Kurve dritter Ordnung.

Beweis. Die Gleichung eines jeden Kegelschnittes hat in Bezug auf das Dreieck 01 02 03 die Form

— dik i-— 0, WO;, 5= 1, 2, 3 und dik= ki.

Die zugeordnete Kurve hat in Bezug auf das Dreieck 04 02 03 die Gleichung

aul a2h*2 † 2 au*1 σνι ꝙσ‿ ae ννσνι ‿ν‿ 2 ai x'1** †ς 2 an r2 3**1. + 4053 vn*= 0

Diese Gleichung stellt alle Kurven vierter Ordnung dar, die 0“, 0 und 0⅛ als Doppel- punkte besitzen.

Ist au= 0, d. h. geht der gegebene Kegelschnitt durch den Punkt O1, so zerfällt die zugeordnete Kurve in die Gerade έ 0(d. i. 02 0 ˙³) und in die Kurve dritter Ordnung

2 an σν †‿ aeν εα †+ 2 a.* 22 † 2 a. 1**+† ar**= 0. welche den Punkt 01 als Doppelpunkt besitzt und durch 02 und 0 ⁄½ geht.

Ist a*= 0, d. h. geht der gegebene Kegelschnitt durch den Punkt 02, so zerfällt die zugeordnete Kurve in die Gerade= 0(d. i. 0/½ 0*) und in die Kurve dritter Ordnung

au νν τκα † 2 an ταν ‿◻‿ 2 a.s*1 α σ+ 2 a.s rrl 3 †. a r*= 0, welche 0½ als Doppelpunkt besitzt und durch 06 und 0“ geht.

Ist ags= 0, d. h. geht der Kegelschnitt durch den Punkt O., so zerfällt die zugeord- nete Kurve in die Gerade= 0(d. i. 04 02) und in die Kurve dritter Ordnung

au ν—+& 2 au r¹1 α x+2 a*3 1ꝗ+ 2 a. 1 ‿σ ⁴τρ‿2 as ½= 0, welche 0“3 als Doppelpunkt besitzt und durch 04 und 02 geht.

Rücken zwei der drei Punkte O., 02, O, auf den gegebenen Kegelschnitt, so zerfällt die zugeordnete Kurve in zwei Geraden und in einen Kegelschnitt.

Liegen O und O, auf dem Kegelschnitte, so zerfällt die zugeordnete Kurve in die zwei Geraden= 0,= 0 und in den Kegelschnitt

2 aus eνſ ꝙ+⁸ 2 als&+ 2 a.*1 ‿ 4+ a. 1 ¶= 0.

Liegen O, und O, auf dem Kegelschnitte, so zerfällt die zugeordnete Kurve in die zwei

Geraden τ= 0,= 0 und in den Kegelschnitt

dl1 a*2'3 † 2 4,2 1&½. 2 alz*1 a † 2 4.3 1= 0.