wo Xl, xe und xz die Koordinaten eines beweglichen Punktes der gegebenen Kurve bezüglich des Dreiecks 01 O2 Oz bedeuten und*,*½,* die Koordinaten des entsprechenden Punktes bezüglich des Dreiecks 04 02 0.

Die Glieder der neuen Gleichung werden doppelt so hohen Grades wie zuvor, also vom Grade 2„.

Lehrsatz 2. Die jeder Kurve nter Ordnung entsprechende Kurve besitzt in den Punkten 0¼1, 02, 0⁰3 je einen n fachen Punkt.*)

Beweis. Die Gleichung der gegebenen Kurve kann in der Form geschrieben werden

— aikl vi. k.= 0, wenn 4, K, 1= 1, 2... a und 5+ h 1== a. Durch die Substitution TI: Tx: Tz= /2 X 3: X3 T4: I** geht die obige Gleichung über in ai kl(x*ε'i)(xiss v)(x* x*2l)= 0 dder in 2 aui x*kII lr 4*⁸= 0.

In dieser neuen Gleichung betragen die höchsten Exponenten von*ν⁴,„ und*' nur n, während die Gleichung 2 ten Grades ist.

Folglich besitzt die abgeleitete Kurve in den Eckpunkten des Dreiecks 04020˙3 je einen n fachen Punkt.

Lehrsatz 3. Geht eine Kurve durch einen der Punkte 01, O2, Oz, so zerfällt die zugeord- nete Kurve in eine Gerade und eine Kurve 2— 1ter Ordnung, wenn der betreffende Punkt ein einfacher ist, und sie zerfällt in eine Kmal zu zählende Gerade und in eine Kurve 2— Pter Ordnung, wenn der Punkt, durch den die gegebene Kurve geht, ein facher ist.

Beweis. Gesetzt der Punkt 0 sei ein Ffacher der gegebenen Kurve. Dann tritt l nur in der n— Kten Potenz auf, und wenn fi eine Form iten Grades von x, und x. ist, so kann die gegebene Gleichung †= 0 auf die Form gebracht werden

hE== ſa h. I f.. xE). J...... mℳ*=.

Durch die Substitution

RIi: r,: Az= 2 3: A T1: 1 geht fi über in ☚ ι(*) und f in xA⁵.. Funktion 27— Pten Grades von A*l, 2, A3.

Die abgeleitete Kurve enthält mithin die Gerade έmal und besteht ferner aus einer

Kurve 2— Kten Grades.

Anmerkung. Ist Ou ein ½facher Punkt, 02„ ¹„„ und 0;,„m„»

der gegebenen Kurve, so zerfällt die zugeordnete Kurve in die Kmal zu zählende Gerade 02 0½, lmal„.„ 0041 und mmal„„„ 041 02 und in eine Kurve 2—(k++ m) ter Ordnung, welche in 04, 0½, 0“6 im allgemeinen noch vielfache Punkte enthält.

*) Vergl. Durège,„Die ebenen Kurven dritter Ordnung,“ Alt. 205 u. 206.