Bei der Konstruktion, die Herr Prof. Dr. Brill zur Darstellung der rationalen Kurven vierter Ordnung benutzt, über die man auch Salmon's Kegelschnitte, 4. Auflage, Art. 398, S. 642 und dessen höhere Plankurven, 1. Auflage, Art. 284, S. 316 zu Rate ziehen kann, sind, wenn man zwei Kreise zieht, welche Ecken des Fundamentaldreiecks zu Mittelpunkten haben, im ganzen vier Verbindungsgeraden und zwei Parallelen zur Auffindung eines Paares von zugeordneten Punkten nötig. Die analytische Behandlung ist in diesem Falle so einfach wie bei dem vorigen.
Um ein Paar von zugeordneten Punkten bei der hier benutzten Methode zu erhalten, sind im ganzen nur drei Hilfslinien nötig, und die analytische Behandlung bietet, wie sich zeigen wird, keine erheblichen Schwierigkeiten, nachdem die passenden Koordinatendreiecke gefunden sind, auf welche die ursprüngliche und die abgeleitete Kurve zu beziehen sind.
Es fragt sich nun noch, in welchem Zusammenhange die vorliegende Arbeit mit den für sämtliche Kurven dritter Ordnung gültigen Konstruktionen von Grassmann und Schröter steht.
Man findet, dass sämtliche Zeichnungen für rationale Kurven dritter Ordnung, die sich durch Spezialisierung der erwähnten Methoden ergeben, auch in der gegenwärtigen enthalten sind, und dass sich überdies noch eine graphische Darstellung ergiebt, die sich nicht durch Spezialisierung einer bekannten Methode folgern lässt.
Die von Grassmann in Crelle's Journal, Bd. 31, S. 126, 1846 angegebene Konstruktion wurde von Herrn Dr. Dingeldey in den Math. Annalen, Bd. 27, S. 272 spezialisiert. Bezeichnet man in der letzteren Untersuchung C mit g, 5b mit O, d mit O? und a mit O4 und denkt sich den Kegelschnitt, in dessen Punkten die durch b und b1I gehenden Strahlen sich schneiden, zuerst konstruiert, so erhält man einen Teil der Zeichnungen, die sich in der gegenwärtigen Abhandlung ergeben, indem Ou auf den gegebenen Kegelschnitt verlegt wird.
Wenn in der Arbeit des Herrn Prof. Dr. Schröter(Math. Annalen, Bd. 5, S. 65, 1872) g statt G, Oi statt o, Oz statt O und 0“ statt P gesetzt wird und p mit P zusammenfällt, so erhält man ebenfalls einen Teil der Kurven, die sich in vorliegender Untersuchung ergeben, indem 02 auf den gegebenen Kegelschnitt rückt.
In Betreff der Zahl der Spezies der rationalen Kurven dritter Ordnung sei bemerkt, dass sich genau ebenso viele ergaben, wie Herr Dr. Moritz Baur in seinem Buche:„Synthetische Einteilung der ebenen Linien dritter Ordnung“ angiebt. In den beifolgenden Figurentafeln ist in der Regel in den Fällen, in welchen eine symmetrische und unsymmetrische Form zu derselben Spezies gehören, der Einfachheit halber nur die symmetrische Form graphisch dargestellt worden. Nur bei den divergierenden Parabeln wurden auch die unsymmetrischen Formen gezeichnet, weil diesen nicht uninteressanten PFormen in den mathematischen Werken wenig Beachtung geschenkt wurde.