Einleitung-

Die folgenden Konstruktionen schliessen sich eng an die Mac-Laurin'’sche Erzeugungs- weise der Kegelschnitte an. Genau wie bei ihr die Punkte der zu zeichnenden Kurve zweiter Ordnung den Punkten einer jeden der beiden gegebenen Geraden zugeordnet werden, so werden bei den gegenwärtigen Zeichnungen die Punkte einer rationalen Kurve dritter Ordnung auf die eines festen Kegelschnittes bezogen. Man erhält aus der Mac-Laurin'’schen Konstruktion die hier benutzte, indem man statt einer der beiden gegebenen Geraden einen Kegelschnitt setzt, der aller- dings keine ganz beliebige Lage haben darf.

Man hätte, ebenfalls von der erwähnten Konstruktion ausgehend, die rationalen Kurven dritter Ordnung auch noch in wesentlich anderer Art zeichnen können, indem man statt des Strahlenbüschels, auf dessen Strahlen die Punkte des zu zeichnenden Kegelschnittes nicht selbst liegen, eine Enveloppe zweiter Klasse gesetzt hätte, die auch gegen die beiden gegebenen Geraden und Punkte eine bestimmte Lage haben muss. Es lassen sich in diesem Falle sehr einfache Resultate erzielen, wenn die Enveloppe als negative Fusspunktskurve einer Geraden oder eines Kreises aufgefasst wird.

Die quadratische Verwandtschaft, auf die sich die folgenden Konstruktionen stützen, gestattet uns, zu dem Punkte P, der in Bezug auf ein festes Dreieck 01 02 Oz die Koordinaten Tl,*, g hat, den Punkt P“ zu finden, der in Bezug auf ein anderes Dreieck 04020 3(das

in bestimmter Weise von 0 0 03 abhängig ist) die Koordinaten 4. 44 4 besitzt. 1 2 3

Um also aus der Gleichung eines Ortes für P diejenige des Ortes für P“ zu erhalten, hat man statt der Koordinaten von P ihre reciproken Werte zu setzen und die neue Gleichung für das Dreieck 04003 zu diskutieren.

Die rationalen Kurven dritter Ordnung hätten sich auch mit Hilfe eines Kegelschnittes auf zwei andere Weisen konstruieren lassen, die in inniger Beziehung zu der hier angewandten graphischen Darstellung stehen. Man hätte die von Steiner aufgestellte quadratische Verwandt- schaft*) und die Konstruktion benutzen können, welche Herr Prof. Dr. Brill**) zur Erzeugung der Kurven vierter Ordnung mit drei Doppelpunkten anwendet.

Bei der ersten Methode wird zweimal die Aufsuchung eines vierten harmonischen Strahles gefordert zur Ermittelung eines Paares von zugeordneten Punkten. Der Kegelschnitt und die Kurve dritter Ordnung sind auf dasselbe Dreieck bezogen, aber man erzielt analytisch höchst übersichtliche Resultate, wie aus Durège,„Die ebenen Kurven dritter Ordnung“ ersichtlich ist.

*) Steiner, System. Entwickelungen. Berlin 1832, S. 254 u. ff. **) Math. Annalen. Bd. 12, S. 119,§ 9.

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