ungleichnamiger Brüche, Enthaltensein, Multiplikation und Division, wobei der Multipli- kator, resp. Divisor ein Bruch oder eine gemischte Zahl ist; kursorische Durchnahme der vier Spezies mit Brüchen. Wenn auch nach Einführung des dezimalen Münz-, Maſs. und Gewichtssystems die praktische Verwertung des gemeinen Bruches an Bedeutung verloren hat und darum in Rücksicht hierauf seine Behandlung in der abschlieſsenden Volksschule sich in manchen Punkten beschränken konnte, so verlangt der Rechenunterricht der höheren Schulen jene gründliche und erschöpfende Behandlung der Bruchlehre, die geeignet ist dem zum gröſsten Teil auf ihr fufsenden algebraischen Unterrichte die breiteste Grundlage zu geben. Eine Durchnahme in diesem Sinne kann sich selbst unter sicherster Voraussetzung der oben skizzierten Propädeutik unmöglich in dem, der Bruchrechnung zugewiesenen Jahreskursus vollziehen, eine gründliche Wiederholung und Vertiefung derselben auf der nächsten, sowie ihre kursorische Durchnahme autf den folgenden Stufen ist unbedingtes Erfordernis.

Deaimalbrüche. Sowohl die Aufgaben der Resolution und Reduktion als auch der vier Spezies mit benannten Zahlen haben als sachlichen Inhalt Münzen, Malſse, Ge- wichte u. s. w. Deren System beruht zumeist auf dezimaler Teilung, und ist für Dar- stellung solcher mehrsortigen Ausdrücke die dezimale Schreibung angeordnet. Diese aber ist begründet in dem dezimalen Teile des Zahlensystems, also ihr Verständnis in der Kenntnis der Dezimalbrüche. Da es nun aus mancherlei Rücksichten geboten erscheint, die Sortenverwandlungen sowie auch die Grundrechnungsarten mit benannten Zahlen der zusammenhängenden Behandlung der Bruchlehre vorausgehen zu lassen, so fragt es sich: ist es möglich, die Dezimalbruchrechnung auf dieser Stufe insoweit ihre Anwendung zu dem angedeuteten Zwecke erfordert wird, unter- richtlich zu behandeln? Es hat diese Frage eine Beantwortung in positivem und negativem Sinne erfahren, und eine Entscheidung nach der einen oder andern Seite setzt eine sachliche Prüfung der Materie voraus. Diese Prüfung nun gestaltet sich insofern ziemlich einfach, als es sich doch nur darum handeln kann, ob der Schüler auf Grund seines materiellen Wissens aus dem Gebiete der Zahlenlehre das Wesen der Dezimalbrüche zu verstehen vermag. Die Dezimalbrüche sind ihrem Inhalte nach Brüche, ihrer Form nach ganze Zahlen; es fragt sich also: ist ein Verständnis für diese nach zwei Seiten sich erstreckende Auffassung durch den vorausgegangenen Unterricht angebahnt? Wenn die Bruchlehre im Sinne der Ausführungen des vorausgegangenen Abschnittes schon von der Unterstufe anfangend, eine vorbereitende Behandlung erfährt, so kann es keinem Zweifel unterliegen, dals der Schüler mit dem Wesen der Brüche die erforderliche Ver- trautheit erlangt hat. Ebenso ist durch die Bekanntschaft mit dem dekadischen Zahlen- system auch eine Analogie für das dezimale Zahlensystem gegeben und dessen Auffassung dadurch hinlänglich vorbereitet. Mithin sind die beiden Bedingungen, die zum Verstehen und Darstellen der Dezimalbrüche vorauszusetzen sind, vorhanden, gegen ihre Vornahme könnten also vom didaktischen Standpunkte keine prinzipiellen Bedenken vorliegen. Dezimalbrüche aber ohne hinreichende Voraussetzung des Begriffes Bruch, d. h. sie ein- seitig blofs als Fortsetzung des dekadischen Zahlensystems zu erklären, bedeutet eine Ver- wechslung des Zeichens mit der Sache. Die Dezimalbrüche fallen eben unter den Gattungsbegriff Brüche, und was darum die verschiedene Art, dieselben zu lesen, betrifft, so ist dazu anfangs die Bruchform als die absolut geeignetste zu erachten. Wenn der Schüler 0,79= neunundsiebenzig Hundertstel liest, so ist es ihm in ganz anderer Weise möglich, die Teile der niederen Ordnung im richtigen Verbältnis zu denen der höheren Ordnung zu erkennen, als wenn er sagen würde: 0 Komma 79. Es empfiehlt sich auch, daſs das Zerlegen von Dezimalbrüchen und gemischten Zahlen in ihre Stelleneinheiten der