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geboten, die Bruchzahlen auch vordem zum Gegenstande des Rechenunterrichtes zu machen. Bereits auf der Unterstufe ist der Begriff des Bruches zu veranschaulichen, und das Rechnen mit Brüchen, mündlich und schriftlich, hat sich nun in entsprechender Anpassung an den dominierenden Teil des Unterrichtsstoffes bis zur Behandlung der eigentlichen Bruchlehre hindurchzuziehen. Weist auf einen solchen Gang ihrer Durchnahme der geistes- bildende Inhalt jener Zahlengröſsen hin, so ist eine frühzeitige Bekanntmachung mit denselben doch vorzugsweise bedingt durch ihre praktische Bedeutung. Zahlenteilungen treten im praktischen Leben ja überwiegend im sprachlichen Gewande des Bruches auf, und so berührt der Bruch nicht allein den Lebens- und Erfahrungskreis des Kindes, auch die verschiedenen Gegenstände des Schulunterrichtes fordern vielfach seine Verwendung und damit sein Verständnis. Welche Gebiete der Bruchlehre können nun propädeutisch zur unterrichtlichen Behandlung gelangen? Vor allem fleiſsige auf vielfache Anschauung gegründete UÜbung im Bilden der Brüche, sodann in Anlehnung an die Multiplikation: Verwandlung ganzer Zahlen in Brüche und Einrichten gemischter Zahlen, und im Anschluls an die Division: Verwandlung unechter Brüche in ganze, bezw. gemischte Zahlen. Von den vier Grundrechnungsarten mit Brüchen können vorerst nur solche Fälle Beachtung finden, welche die Auffassung des Bruches als benannte ganze Zahl bedingen, also alle Operationen, die sich unmittelbar am Zähler ausführen lassen; dahin gehören: Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche, Multiplikation von Brüchen mit ganzen Zahlen (nur durch Multiplikation des Zählers), Division von Brüchen durch ganze Zahlen(insofern der Zähler durch den Divisor teilbar ist). Diese Vornahmen lassen sich besonders vorteilhaft an die Einübung des Einmaleins anschliefsen und müssen darum dessen sicheres Erlernen wesentlich unterstützen. Da der Bruch seinem Inhalte nach nur seine Voraussetzung in der Entstehung hat, so kann eine sachliche Erklärung desselben blofſs eine bezügliche sein, eine absolut gültige Definition des Bruches kann sich lediglich auf dessen Form beziehen. Wichtiger als die geschicktest angelegte Definition halte ich darum die Darlegung der Bildung des Bruches und Nachweisung derselben an vielen vorgelegten Beispielen. Hierbei ist auch die Auffassung des Bruches als Division des Zählers durch den Nenner in hervorragender Weise zu berücksichtigen, denn diese Erkenntnis ist für das Rechnen mit Brüchen selbst von weitgehender Bedeutung und wird für die Regeldetri, noch mehr für die Algebra unentbehrlich. Es ist darum nicht nur darauf hinzuarbeiten, daſs solche Auffassung dem Schüler geläufig werde, sondern, daſs er auch lerne, sie möglichst häufig zur Anwendung zu bringen. Verschiedene Gebiete der Bruchlehre setzen die Kenntnis der Teilbarkeit der Zahlen voraus. Daſs dieselbe auch in begründender Weise zu lehren ist, kann nach den vorausgegangenen Darlegungen kaum angezweifelt werden. Jedoch geben methodische Leitfäden sowohl, als auch Schulrechenbücher dieser Seite der Bebandlung eine Ausdehnung, welche die Gefahr nahe legen muls, daſs über dem Einlernen der Beweise, die eigentliche Ubung, d. h. die möglichst schnelle und sichere Anwendung der Teilbarkeitsmerkmale auf den konkreten Fall, nur in untergeordneter Weise Beachtung finden kann. Die oben bezeichneten vorbereitenden Ubungen zur Bruchlehre geben auch die Möglichkeit an die Hand, die einzelnen Abschnitte dieser Disziplin in einer Folge zur unterrichtlichen Be- handlung zu bringen, welche zwar von der sonst allgemein gebräuchlichen Anordnung des Lehrstoffes abweicht, die aber in sich sachlicher begründet und didaktisch rationeller sein dürfte. Nach diesem Stufengang würde die Entwicklung des Bruches noch einmal anschau- lich und gründlich vorzunehmen sein, daran hätten sich zu schlieſsen: Wertveränderungen des Bruches durch Multiplikation und Division des Zählers und des Nenners, Multiplikation und Division der Brüche und gemischten Zahlen mit ganzen, bezw. durch ganze Zahlen, Erweitern und Kürzen der Brüche, Gleichnamigmachen derselben, Addieren und Subtrahieren

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