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Schon ein flüchtiger Blick auf beide Lösungen lälst die Einfachheit der letzteren in Rücksicht auf die schriftliche Darstellung erkennen, auch nicht minder einfach gestaltet sie sich in Rücksicht des Kalküls. Die Beschreibung des Verfahrens kann sich hier nachstehender- maſsen vollziehen: 963 H. dividiert durch 367= 2 H.,(2 mal 7— 14) 14+ 9= 23; (2 mal 6= 12, 12+ 2 14) 14+˖ 2= 16;(2 mal 3= 6, 6+ 1=7) 7+ 2= 9; 229 H. verwandelt man in Z.: 2 290 Z.+ 8 Z.= 2 298 Z., 2 298 Z.: 367= 9 Z. u. s. w.*) Wird die hier gezeigte Behandlungsweise auch nicht den Anspruch absoluter Vollkommen- heit erheben dürfen, so ist es an ihrer Hand doch unzweifelhaft in ganz anderer Weise möglich, die Schüler auf eine geistesbildende Art in das Dividieren einzuführen, als durch die oben gekennzeichnete Divisionsmanier. Nachdem nun die Division durchge- nommen ist, muſs die Stellung von Aufgaben, die sich als Kombinationen der einzelnen Spezies darstellen, vielfach zur Ubung kommen. Im Dienste des Kopfrechnens sind solche Exempel ein treffliches Mittel, sowohl zur Gewöhnung an ein aufmerksames Verfolgen gröſserer Zahlenreihen, wie auch zur schnellen und sicheren Beherrschung der einzelnen Grundrechnungsarten; als schriftliche UÜbungen sind sie geeignet, die Schüler in die Er- lernung einer entsprechenden Gliederung der verschiedenen Operationen, sowie in eine zweckmäſsige Anordnung der einzelnen Stücke einzuführen.

Rechenvorteile und Abkürzungen. Obgleich es aus didaktischen Gründen verfrüht erscheinen muſs, dieses Kapitel unter Anlehnung oder unmittelbar nach der ersten Vornahme der Grundrechnungsarten zu behandeln, so glaubte ich ihm aber des sachlichen Zusammenhanges wegen hier eine Stelle geben zu müssen. Ein rationeller Rechenunterricht wird kaum auf die, durch Vorteile und Ab. kürzungen bedingte Vereinfachung und Sicherheit des Kalküls ver- zichten. Nur kommt es darauf an, daſs diese Dinge zur rechten Zeit und in rechter Weise gelehrt werden. Als allgemeine Regel dürfte gelten, daſs Vorteile und Kürzungen nicht eher vorkommen sollen, bis der Schüler im Normalverfahren die vollkommenste Sicherheit erlangt hat. Bedingt auch die Vertrautheit mit denselben eine Reihe von Ubungen, so möchte doch davor zu warnen sein, letztere nicht allzulange auszudehnen, dagegen hernach die praktische Verwertung des Gelernten bei jeder gegebenen Veranlassung zu fordern. Die einzelnen Arten der Vorteile und Kürzungen hier zu bestimmen und zu erläutern, würde zu weit führen; in Beziehung auf ihre Behandlung möge nur bemerkt sein, daſs die Einübung nicht mechanisch erfolgen darf, daſs vielmehr der Schüler sich bei jeder Art des Verfahrens auch binlänglich der Gründe desselben bewufst sei. So nur kann es möglich werden, auch Rechenvorteile und Abkürzungen zum Gegenstande eines fruchtbringenden und geistesbildenden Unterrichts zu machen und so für ihre spätere Anwendung eine allzeit sichere Direktive zu geben..

Resolvwieren und Reduaieren. Wenn es auch geboten erscheint, die Sorten- verwandlung auf einer bestimmten Unterrichtsstufe im Zusammenhang zur Vornahme zu bringen, so darf es deswegen nicht als ausgeschlossen gelten, auch leichte Ubungen aus diesem Gebiete bei Durchnahme der Multiplikation und Division insoweit hereinzuziehen, als die hier auftretenden Elemente in dem Anschauungs- und Erfahrungskreise der Schüler gelegen sind. So können dieselben auf möglichst elementare Weise und auf praktischem Wege schon ziemlich früh in die Reduktion und Resolution eingeführt werden, und vor Aufführung des ganzen Gebäudes kann alsdann mancher Baustein zu demselben gesammelt sein. Die hier in Betracht zu ziehenden Arten des Rechnens bedingen die Kenntnis der

*) Die durch kleineren Druck dargestellten Ausrechnungen sind nach erlangtem Verständnis zunächst in der Erklärung entbehrlich.