die anderseits sehr nahe liegt, nicht so bald ermöglichen. Was nun die anfängliche Beschreibung der Operation seitens der Schüler betrifft, so kann diese für nachstehende Aufgabe etwa folgendermaſsen gegeben werden:

6 439 9=— 57 951. Die Aufgabe heifst: 6 439 multipliziert mit 9 oder 9 mal 6 439; 9 mal 9 E.= 81 E.= 8 Z. 1 E., 1 E. schreibt man an, und 8 Z. addiert man zum Produkte der Zehner u. s. w. Daſs im gegebenen Falle auf die Vorteile der Verwechselung der Faktoren hingewiesen und deren Anwendung auf reine Zahlen geübt werde, mag hier nur erwähnt sein.

Diwision. Wie durch die Addition die Subtraktion, so soll auch durch die Multiplikation die Division vorbereitet sein und muſs entsprechend jener, beim Enthalten- sein auch als Subtraktion gleicher Subtrahenden erkannt werden. Es ist bei dieser Grundrechnungsart das eigentliche Dividieren von dem Enthaltensein nicht nur sachlich zu unterscheiden, es mufſs auch gewünscht werden, dals beide Arten in der Form ihrer Behandlung schärfer getrennt würden, als es im allgemeinen zu geschehen pflegt. Welche Stellung die Elemente in beiderlei Verfahren haben müssen, und wie diese letzteren zu beschreiben seien, mag an folgender Aufgabe gezeigt werden:

a) 79: 11= 7⁄1 b) 11 in 79= 7 xX. kh. 2

a) Dividieren. 79 dividiert durch 11= 7, Rest 2, 2 dividiert durch 11= 21, also 79: 11= 72,11.—

b) Enthaltensein. 11 ist in 79= 7 mal enthalten, Rest 2. Es muſs schon von Anfang an darauf gehalten werden, daſs die Schüler sich bei Divisionsaufgaben stets der Präposition durch bedienen und das ihnen in der Multiplikation geläufig gewordene „mit“ nicht verwenden, bezw. verwechseln. Wenn es sich zwar nicht rechtfertigen, aber dorh einigermafsen verantworten läſst, das Dividieren unter dem sprachlichen Schema des Enthaltenseins auszuführen, so schwinde doch hierbei, sowie auch bei letzterem selbst, die fast stehend gewordene Sprechweise: a steckt oder geht in 5b cmal, man holt oder zieht d herunter. Dieses„Gehen- und Steckenlassen“, dieses„Herunterholen und Herunter- ziehen“ ist leider in unseren Schulen noch so vielfach verbreitet, daſs sehr zu wünschen ist, es möchte an diesem Zopf endlich einmal ein radikaler Schnitt geschehen. Warum soll nicht selbst der Abe-Schütze nach anschaulichen Analogien darauf geleitet werden können, eben- sogut zu begreifen, dals 3 in 6 zweimal enthalten sei, als dals es zweimal darin stecke oder gar zweimal hineingehe(warum nicht laufe?) und nun noch das„Herunterholen“ der Einheiten, die trotz alles„Herunterziehens“ unbeweglich an ihrer Stelle verharren! Abge- sehen auch von dem Geschmacklosen und durchaus Unzutreffenden solcher Ausdrücke, sind dieselben die weiten Thore, die den Schüler in eine schablonenhafte und verständ- nislose Division einführen. Zur Auffindung grölſserer sogenannter Divisionsreste ist eine schriftliche Subtraktion erforderlich. Hier gerade ist die oben behandelte Ergänzungs- methode zu empfehlen, weil sie geeignet ist, das Verfahren wesentlich zu vereinfachen.

Division unter Anuendung

a) der Subtraktionsmethode: b) der Ergäünzungsmethode: 963 851: 367= 262 1³ ½6: 963 851: 367= 262 ²23%: 734 229 8 229 8 9 65 220 2 2 31 9 65 7 34