verfahren zu entscheiden haben, da die Differenz in der Nähe des Minuenden liegt, in der Aufgabe 512— 499 dagegen wird er die Differenz durch Ergänzung des Subtrahenden zum Minuenden zu finden suchen.

Multiplikation. Daſs die Multiplikation als Addition gleicher Sum- manden schon bei ihrer ersten Vornahme gründlich zu veranschaulichen, und daſs die gewonnene Einsicht im weiteren zu befestigen ist, muſs als Grundbedingung für das rechte Verständnis des Wesens dieser Rechnungsart gefordert werden. Nur auf diesem Grunde kann das Fundament der ganzen Multiplikation— das Einmaleins— eine feste Unterlage finden. Von der sicheren Beherrschung des Einmaleins ist nicht blofs die Er- langung einer entsprechenden Fertigkeit im Multiplizieren bedingt, auch die Division und die Bruchlehre finden darin ihren Boden. Das Einmaleins zunächst durch selbstthätiges Bilden der Produkte aus gleichen Summanden aufzubauen, sodann durch unausgesetzte Ubung dem Gedächtnisse der Kinder einzuprägen, endlich durch ständige, in der variabelsten Weise sich gestaltende Wiederholung zu befestigen und für die zunächst darauf basierenden Operationen vorzubereiten, ist ein Ziel, dem mit Konsequenz und Ausdauer schon von der Elementarklasse an zugestrebt werden mufs. Das Multiplizieren voll- zieht sich anfangs in der fast ausschliefslichen Form des sogenannten Malnehmens; man gebraucht hierbei als Operationszeichen das liegende Kreuz und ordnet die Faktoren derart, daſs der Multiplikator vor dem Multiplikanden steht. Im Bereiche der Ubungen bis 100 könnte diese Praxis Anwendung finden, aber sobald das schriftliche Ver- fahren mit gröſseren Zahlen auftritt, istmit der arithmetsch obligaten Anordnung der Faktoren auch das entsprechende Operationszeichen, der Punkt, zu wählen, und die Aufgabe 365 multipliziert mit 9 so darzustellen: 365 9= 3 194. Meine Erfahrungen nach dieser Seite haben ergeben, daſs jener Ubgr- gang sich verhältnismälsig leicht vollzieht, und daſs die Schüler durch Gegenüberstellen peider Sprech- und Schreibweisen Multiplikand und Multiplikator leichter unterscheiden lernen. Daſs man nachdem auch noch jede Aufgabe neben der nun vorgeschriebenen Form, æ multipliziert mit, auch noch mit Voranstellung des Multiplikators, also mal æ, lesen— nicht schreiben— lasse, ist darum empfehlenswert, weil bei der Stellenmultipli- kation die Sprechweise des Malnehmens kaum entbehrt werden kann, wenn an ihre Stelle nicht eine schwerfällige Ausdrucksform treten soll. Der Verbindung des Produktes mit den Faktoren mittels des Gleichheitzeichens läfst sich nur dann unmittelbar bewirken, wenn es sich direkt berechnen läſst; mufs aber ein Anschreiben von Teilprodukten erfolgen und deren Summe gesucht werden, so wird sich das Produkt unter dem Striche ergeben, aber zu empfehlen dürfte es sein, es nochmals als rechte Seite der Gleichung anzuschreiben. Ebensowenig wie bei der Addition ist es auch beim Multiplizieren zulässig zu sagen, daſs die aus einer Anzahl niederer Einheiten resultierenden Einheiten der nächst höheren Ordnung„im Sinne“ zu behalten seien, äber ebenso sinnlos ist es, dieselben den Produkten„stumm“ hinzuzuzählen, also bei der Aufgabe 69.5 zu sprechen: 5 mal 9= 45, 5 mal 6=.. 34. Es ist hierbei durchaus nötig, das Verfahren anfangs mit genauer Stellenbenennung erlänternd zu begleiten, aber auch nach gewonnener Sicherheit eine solche gekürzte Darstellungsweise zu wählen, die weder grammatisch, noch logisch anfechtbar ist. Bei Multiplikationen mit mehrstelligem Multiplikator kann das Verständnis dadurch an Sicherheit gewinnen, daſs man anfangs die Teilprodukte der Zehner, Hunderter u. s. w. vollständig, d. h. mit der entsprechenden Anzahl Nullen anschreiben und auch nach Ver- lassen dieses Verfahrens noch häufig benennen läſst. Diese Behandlung würde den Schüler daran gewöhnen, auch nach Weglassung der Nullen, sich leicht das eigentliche Produk: in Gedanken zu rekonstruieren und so eine mechanische Einlernung der Multiplikation,

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