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Die Art und Weise, in der sich die verschiedenen Operationen des Rechnens voll- ziehen, ist eine zweifache: eine freie und eine an die schriftliche Darstellung gebundene, gemeinhin Kopf- und schriftliches Rechnen benannt. Alles Rechnen soll zunächst Kopfrechnen sein und als solches für jede Operation dem schriftlichen Rechnen als leitender Teil vorangelen. Hierdurch kann dieses nicht so leicht in die Fesseln eines einseitigen Mechanismus gelangen, aber der Schüler wird so auch vor jener unheilvollen Manier des Kopfrechnens bewahrt bleiben, welche letzteres als ein Abbild der schriftlichen Darstellung zu betrachten pflegt. Keineswegs soll durch die Hervorhebung der Bedeutung des Kopfrechnens der Nutzen des schriftlichen Rechnens für die pädagogisch wichtige Selbsthätigkeit der Schüler unterschätzt werden, noch die Würdigung der Not- wendigkeit desselben überhaupt eine Beschränkung erfahren, jedes zur geeigneten Zeit und an geeignetem Orte. Eine feste Grenze für die Anwendung beider Arten kann natürlich nicht gezogen werden, doch dürfte sie im allgemeinen durch die Forderung bestimmt sein, dafs das schriftliche Rechnen überall da zu Hülfe zu nehmen ist, wo entweder die Gröſse oder die verwickelte Verknüpfung der in der Rechnung vorkommenden Zahlen dazu Anlaſs geben. Was nun das schriftliche Rechnen als solches betrifft, so muls vor allem darauf gesehen werden, daſs sich dasselbe nicht nur sachlich genau, sondern auch sauber und deutlich, namentlich in schöner Ebenmälsigkeit der Ziffer und mit gerader Führung der anzuwendenden Striche vollziehe. Der Einführung karierter Rechen- hefte muſs vom didaktischen Standpunkte im Interesse der Gewöhnung an eine schöne und korrekte Darstellung sehr das Wort geredet werden; ob die von hygienischer Seite dagegen erhobenen Bedenken in der That so schwerwiegende sind, und ob der Gebrauch einer solchen Liniatur die Sehkraft in dem hohen Malse schädigt, wie dies vielfach be- hauptet wird, scheint durch die Erfahrung noch keineswegs bestätigt.

Nicht minder als auf eine exakte schriftliche Darstellung sind auch die Schüler an Genauigkeit in der Form des Ausdrucks zu gewöhnen. Es ist hierauf mit ebenso vieler Strenge als Gleichmälfsigkeit zu halten, um nicht Darstellungen und Ausdrücke stabil werden zu lassen, die mathematisch und sprachlich gleich inkorrekt sind und deren Entfernung später nur mit grofser Mühe zu bewirken ist. Wenn auch im folgenden Teile dieser Abhandlung bei gegebener Veranlassung auf jenen Punkt mehrfach zurückgegriffen wird, so mögen doch hier einige allgemeine Bemerkungen eine Stelle finden. Vor allem ist es erforderlich, daſs in gröfseren Schulorganismen, in welchen der Rechenunterricht in verschiedenen Händen liegt, sich die Lehrer in Geltung der hier zu befolgenden Grundsätze und der zu beobachtenden Modalitäten in Ubereinstimmung befinden, insbesondere, daſs in der Fassung der Erklärungen und Regeln, in der Beschreibung eines Rechenverfahrens u. s. w. auf den verschiedenen Stufen Gleichförmigkeit herrscht. So dürfte es vielleicht ratsam sein, die sprachliche Anfügung des Ergebnisses durch das Wörtchen gleich vermitteln zu lassen; hierdurch würde zwischen mündlicher und schriftlicher Darstellung eine bessere formelle UÜbereinstimmung hergestellt, der Ausdruck ist auch leicht verständlich und bewahrt den Schüler vor den Schwankungen zwischen ist und sind. Unter keinen Umständen dagegen dulde man die leider noch in manchen Schulen im Schwange stehenden barocken Ausdrucksweisen„giebt“ oder„macht.“ Was das Benennen der Elemente der einzelnen Rechnungsarten betrifft, so kann man sich trotz aller Begeisterung für die Be- strebungen, die deutsche Sprache von Fremdwörtern zu reinigen, doch kaum für die zur Zeit gebräuchlichen deutschen Bezeichnungen entscheiden. Der Schüler wird sich unter Vollzahl oder Vervielfältigungszahl nichts Besseres und nichts Schlechteres denken, als unter Minuend, beziehungsweise Multiplikand, die Hauptsache bleibt, daſs sich mit dem Ausdrucke stets der entsprechende rechte Begriff verbinde. Solange also die deutsche

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