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In Betreff der Probe wird bemerkt: Multipliziere den Divisor mit dem Quotient; wenn das, was herauskommt, gleich dem Dividend ist, so hast du richtig gerechnet.
Die letzte(dritte) Pforte des ersten Teils handelt von den gemischten Zahlen. Nach einer Erörterung über die Zahl der Fälle, welche die Verbindung von je zwei Zahlen
1 b.. 1— der Formen a, 2: 1+ 13 a+ 5 ergiebt, wird gezeigt, wie jede gemischte Zahl mittels
b ac † b der Formel a+—= a L. b. in einen Bruch verwandelt werden kann. Dann werden der c c
Reihe nach die Addition, Multiplication und Subtraction gelehrt, und zwar jede dieser Rech- nungsarten auf zwei Weisen; nach der einen werden die vorkommenden gemischten Zahlen beibehalten, nach der anderen vor Ausführung der eigentlichen Rechnung durch unechte Brüche ersetzt. Bei der Division ist, wie Misrachi eingehend zu begründen sucht, nur der letztere Weg möglich.
II. Abschnitt. I. Pforte. Die astronomischen Brüche.
Die Astronomen Babyloniens haben vor mehr als 3000 Jahren den Umfang des Kreises in 360 gleiche Teile geteilt, wohl um durch einen solchen Teil den Weg zu versinnlichen, den die Sonne bei ihrem scheinbaren Umlauf um die Erde in einem Tage, dem 360sten Teil des Jahres, zurücklege. Diese Einteilung ist von den Indern und Griechen angenommen worden und hat sich, durch das schon erwähnte Werk„Almagest“ des Klaudius Ptolemaeus zu allgemeiner Geltung gebracht, bis in die Gegenwart behauptet. Der 360ste Teil des Kreis- umfangs hieß bei den Griechen Hoεxο*), die gotpa zerfiel in 60 xο εa. Q= partes minutae primae oder minuta prima(erste Teile), jeder solche Teil in 60 dsbrspa Eν 4 = minuta secunda(zweite Teile), u. s. w., woraus unsere Ausdrücke Minute, Se- kunde u. s. w. entstanden sind.
Es erwies sich auch ein Zusammenfassen einer größeren Anzahl von Graden in eine (höhere) Einheit als wünschenswert; zu diesem Zwecke wählte man den Tierkreis mit seinen 12 Sternbildern, so daß ein Sternbild(signum) aus 30 Graden bestand.
Grade, Minuten, Sekunden u. s. w. sind somit ihrer ursprünglichen Bedeutung nach Benennungen von Zahlen; mit der Zeit gewann aber der Bruchgedanke die Oberhand: die Grade drückten die Ganzen aus, die Minuten wurden einfach 60stel, die Sekunden 60stel der 60stel, d. i. 3600stel, u. s. w., und die Lehre von den so gebildeten Sexagesimal- brüchen wurde ein wichtiges Kapitel in den Lehrbüchern der Mathematik. Freilich blieben diese Brüche dem gewöhnlichen Leben, wo man sich der gemeinen Brüche bediente, im ganzen fremd; sie wurden vorwiegend bei wissenschaftlichen Rechnungen, besonders in der Astronomie, verwandt und daher auch astronomische Brüche genannt. Am Ende des 16. Jahrhunderts machten sie den von Simon Stevin erfundenen Dezimalbrüchen Platz.
Das Rechnen mit diesen Brüchen wird von Misrachi sehr ausführlich gelehrt. Bei der Addition bemerkt er, daß man, wie mit Tierkreis, Sternbild, Grad, Minute u. s. w., auch
*) Die Araber übersetzten dies Wort mit daraja(7)= sScala, gradus; der lateinische Aus- druck gradus(daraus das deutsche Wort„Grad“) ist also eino Uebersetzung aus dem Arabischen, während der französische und der englische Ausdruck(degré, degree) das arabische Wort selbst sind. Nesselmann, Die Algebra der Griechen p. 137.